Sobre las extensiones de gavillas localmente libres de rango $2$ en la superficie

Question

Dejemos que $X$ sea una superficie algebraica proyectiva sobre $\mathbb C$ y dejar, $\mathcal F$ sea una gavilla localmente libre de rango $2$ Supongamos que $ \mathcal F(1)$ tiene una sección, entonces es cierto que tenemos una secuencia exacta de la siguiente forma :

$ 0 \to \mathcal O_X \to \mathcal F(1) \to det(\mathcal F) \otimes I_Z \to 0 $

para algún subesquema de dimensión cero $Z$ en $X$ ?

Podemos pensar en un mapa natural de $\mathcal O_X \to \mathcal F(1)$ Pero no veo por qué debería ser inyectiva, y también por qué el núcleo de la cuna tiene este aspecto.

¿Puede alguien darme una referencia? ¿O una pista para probarlo?

Cualquier ayuda de alguien es bienvenida

Answer 1

La respuesta es esencialmente una aplicación de la Proposición 5, página 33, de Superficies algebraicas y haces vectoriales holomorfos de Friedman En lo que sigue $V$ es un haz vectorial de rango dos sobre una variedad proyectiva compleja $X$ .

Propuesta:

1. Dejemos que $\phi\colon L \rightarrow V $ sea un subconjunto de líneas (subconjunto invertible de rango uno). Entonces existe un único divisor efectivo $D$ en $X$ , posiblemente $0$ , tal que el mapa $\phi$ factores a través de la inclusión $L\rightarrow L \otimes \mathcal{O}_X(D)$ y tal que $V/ (L \otimes \mathcal{O}_X(D))$ es libre de torsión.
2. En la situación anterior, si $V/L$ es libre de torsión, es decir $D=0$ entonces existe un esquema local de intersección completa de codimensión dos $Z$ de $X$ y una secuencia exacta $$0 \rightarrow L \rightarrow V \rightarrow L'\otimes \mathcal{I}_Z \rightarrow 0 $$

Para dar una sección global $s$ de $\mathcal{F}(1)$ lleva a un mapa $\phi_s \colon \mathcal{O}_X \rightarrow \mathcal{F}(1)$ definido por la multiplicación $f \mapsto fs$ . Si tuviera un núcleo no trivial, entonces $s$ sería una sección de torsión que no es posible ya que $\mathcal{F}(1)$ es localmente libre. Por lo tanto, $\phi_s$ es inyectiva.

Entonces tenemos $$ 0 \rightarrow \mathcal{O}_X \rightarrow \mathcal{F}(1) \rightarrow \operatorname{coker}(\phi_s) \rightarrow 0 $$ y si $\operatorname{coker}(\phi_s)$ es libre de torsión la Proposición nos dice que $ \operatorname{coker}(\phi_s) \simeq L \otimes \mathcal{I}_Z$ para algunos $0$ -subesquema de dimensiones $Z$ (tal vez vacío) y algún paquete de líneas $L$ . Como $Z$ tiene codimensión dos, podemos coimputar los determinantes de la secuencia anterior para concluir que $$ L \simeq \det (\mathcal{F}(1)) = \det(\mathcal{F}) \otimes \mathcal{O}_X(2). $$