Así que estoy tratando de resolver:
$$x^2\frac{dy}{dx} + 2xy = y^3$$
Me dan esta ecuación diferencial, esa ecuación de Bernoulli: $$\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)y^{n} $$
Creo que lo he resuelto y he conseguido $$ u = \frac{2}{5x} +Cx^4$$
No estoy seguro de estar en lo cierto, te mostraré cómo llego allí, pero en primer lugar...
Esto era parte de otra pregunta que ya he resuelto
Demuestre que si $y$ es la solución de la anterior ecuación diferencial de Bernoulli de Bernoulli y $u = y^{1n}$ entonces $u$ satisface la ecuación diferencial lineal lineal:
$$\frac{du}{dx} + (n-1)p(x)u = (1-n)q(x)$$
Aplicando la regla de la cadena a $u = y^{1-n}$ obtenemos que \begin{align} \frac{d u}{dx}(x)&= \frac{du}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}\\ &= (1-n)y^{-n}\cdot\frac{dy}{dx} \end{align} Además, utilizando la ecuación de Bernoulli tenemos $$ \frac{dy}{dx}=q(x)y^n-p(x)y $$ y \begin{align} \frac{d u}{dx}&= (1-n)y^{-n}\cdot\frac{dy}{dx}\\ &=(1-n)y^{-n}\cdot q(x)y^n - (1-n)y^{-n}\cdot p(x) y\\ &=(1-n)q(x) -(1-n)p(x)y^{1-n}\\ &=(1-n)q(x) -(1-n)p(x)u \end{align}
Por lo tanto, U satisface la ecuación $$ \frac{du}{dx}+(1-n)p(x)u = (1-n)q(x) $$
$$x^2\frac{dy}{dx} + 2xy = y^3$$ Dividir ambos lados por $x^2$
$$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x^{-2} y^3$$
Considere $$\frac{du}{dx} + (n-1)p(x)u = (1-n)q(x)$$
Sabemos que
- n = 3
- 1- n = 1-3 = -2
- p(x) = $ \frac{2}{x}$
- q(x) = $x^{-2}$
- u = $y^{1-3} = y^{-2}$
Subiendo estos en... $$ \frac{du}{dx} + (-2)\frac{2}{x}u = (-2)x^{-2} $$
$$ \frac{du}{dx} + \left(-\frac{4}{x}\right)u = (-2)x^{-2} $$
Así que... $$ \text{integrating factor} = e^{\int p(x) \, dx} $$ - p(x) dx = $-\frac{4}{x}$
$$ -4 \int \frac{1}{x} = -4log(x) = log (x^{-4}) $$ $$ \text{integrating factor} = e^{log (x^{-4})}= x^{-4} = \frac{1}{x^4}$$
Así que multiplica esto a la ecuación
$$\frac{1}{x^4}\frac{du}{dx} + \left(\frac{-4}{x^5} \right)u = \frac{-2}{x^6}$$
Así que queremos resolver
$$ \frac{d}{dx}\frac{1}{x^4}u = \frac{-2}{x^6} $$ $$ \int \frac{d}{dx}\frac{1}{x^4}u = \int \frac{-2}{x^6} $$ $$ \frac{1}{x^4}u = -2\int \frac{1}{x^6} $$ $$ \frac{1}{x^4}u = -2\frac{1}{-5x^5} + c $$ $$ \frac{1}{x^4}u = \frac{2}{5x^5} + c $$ $$ \therefore u= \frac{2}{5x} + cx^{4} $$
¿está bien? ¿O tengo que equiparar de alguna manera este y o sub $u=y^{1-n}$
Como $$u=y^{-2}$$
$$\frac{1}{y^2}= \frac{2}{5x} + cx^{4} $$ $$y^2= \frac{5x}{2} + \frac{1}{cx^{4}} $$ $$y= \sqrt{\frac{5x}{2} + \frac{1}{cx^{4}}} $$
