La prueba de que el rango de columna = rango de fila para matrices sobre un campo se basa en el hecho de que los elementos de un campo conmutan. Estoy buscando un ejemplo fácil de una matriz sobre un anillo para el cual la columna rango $\neq$ rango de fila. es decir, ¿se puede encontrar una matriz $2 \times 3$-(block)con matrices reales $2\times 2$-matrices como elementos, que tiene diferentes rangos de columnas y filas?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Sea $D$ un campo sesgado y considere los conjuntos de $2\times 1$-matrices (columnas) y $1\times 2$-matrices (líneas) como espacios vectoriales izquierdos sobre $D$. Sea $a$ y $b$ dos elementos no conmutantes de $D$. Luego $(a,ab)\in D(1,b)$, por otro lado $(b,ab)^{\rm T}\not\in D(1,a)^{\rm T}$.
En particular, la matriz $$ \left(\begin{array}{cc} 1 & b\ a & ab \end{matriz} \right) $$ no es invertible, pero su transposición $$ \left(\begin{array}{cc} 1 & a\ b & ab \end{matriz} \right) $$ es invertible.