Supuestamente simples integral

Question

Mientras trabajaba en una ecuación diferencial que me topé con esta integral: $$\int_0^x\frac{e^{-t^2}}{a^2+t^2}dt,$$ donde $a\in \mathbb{R_{>0}}$.

A primera vista parece tan sencillo que es ridículo que no puedo encontrar la forma cerrada de la expresión.

Alguien me puede ayudar con esta bestia?

$Edit:$A partir de los comentarios, no parece existir una forma cerrada. He intentado una expansión de la serie por escrito el integrando como $e^{-t^2}g(t)$ y tome la expansión de Taylor de la función $g(t)$. Es una buena aproximación y es posible integrar la expresión que se encuentra, pero es sólo válida para valores pequeños de a $x$ desde que la serie diverge.

Answer 1

$\int_0^x\dfrac{e^{-t^2}}{a^2+t^2}dt=\int_0^x\dfrac{1}{a^2+t^2}\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-t^2)^n}{n!}dt=\int_0^x\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^nt^{2n}}{n!(a^2+t^2)}dt$

Considere la posibilidad de $\int\dfrac{t^{2n}}{a^2+t^2}dt$ ,

Deje $t=a\tan\theta$ ,

A continuación, $dt=a\sec^2\theta~d\theta$

$\therefore\int\dfrac{t^{2n}}{a^2+t^2}dt$

$=\int\dfrac{(a\tan\theta)^{2n}}{a^2+(a\tan\theta)^2}a\sec^2\theta~d\theta$

$=\int a^{2n-1}\tan^{2n}\theta~d\theta$

$=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\dfrac{(-1)^ka^{2n-1}\tan^{2n-2k-1}\theta}{2n-2k-1}+(-1)^na^{2n-1}\theta+C$

$=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\dfrac{(-1)^ka^{2k}t^{2n-2k-1}}{2n-2k-1}+(-1)^na^{2n-1}\tan^{-1}\dfrac{t}{a}+C$

Por lo tanto $\int_0^x\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^nt^{2n}}{n!(a^2+t^2)}dt$

$=\left[\sum\limits_{n=1}^\infty\sum\limits_{k=0}^{n-1}\dfrac{(-1)^{n+k}a^{2k}t^{2n-2k-1}}{n!(2n-2k-1)}+\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{a^{2n-1}}{n!}\tan^{-1}\dfrac{t}{a}\right]_0^x$

$=\sum\limits_{n=1}^\infty\sum\limits_{k=0}^{n-1}\dfrac{(-1)^{n+k}a^{2k}x^{2n-2k-1}}{n!(2n-2k-1)}+\dfrac{e^{a^2}}{a}\tan^{-1}\dfrac{x}{a}$

Answer 2

Voy a adentrarme en el caso de los grandes valores de $x$. Vamos a expresar la integral de la siguiente manera:

$$\int_0^x\frac{e^{-t^2}}{a^2+t^2}dt=\int_0^{\infty}\frac{e^{-t^2}}{a^2+t^2}dt-\int_x^{\infty}\frac{e^{-t^2}}{a^2+t^2}dt=$$

$$=I(a)-\int_x^{\infty}\frac{e^{-t^2}}{a^2+t^2}dt$$

El siguiente paso es evaluar la última integral por partes:

$$-\int_x^{\infty}\frac{e^{-t^2}}{a^2+t^2}dt=\frac{1}{2}\int_x^{\infty}\frac{d(e^{-t^2})}{t(a^2+t^2)}dt=$$

$$=-\frac{e^{-x^2}}{2x(a^2+x^2)}+\frac{1}{2}\int_x^{\infty}\frac{(3t^2+a^2)e^{-t^2}}{t^2(a^2+t^2)^2}dt$$

En la última expresión, el primer término domina por un gran $x$ y tenemos aproximadamente:

$$\int_0^x\frac{e^{-t^2}}{a^2+t^2}dt\approx I(a)-\frac{e^{-x^2}}{2x(a^2+x^2)}$$

Vamos a obtener un mejor resultado si seguimos la integración por partes en la penúltima expresión.

Ahora, considere la posibilidad de

$$I(a)=\int_0^{\infty}\frac{e^{-t^2}}{a^2+t^2}dt$$

Vamos a introducir el parámetro de $b$, de modo que

$$J(b)=\int_0^{\infty}\frac{e^{-bt^2}}{a^2+t^2}dt$$

y $I(a)=J(1)$

Diferenciando con respecto a $b$, vamos a ver que $J$ satisface la siguiente ecuación diferencial:

$$\frac{dJ}{db}-a^2J+\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{b}}=0$$

Teniendo en cuenta que

$$J(0)=\int_0^{\infty}\frac{dt}{a^2+t^2}=\frac{\pi}{2a}$$ obtenemos una solución de este diff-eq:

$$J(b)=\sqrt{\pi}\frac{e^{a^2b}}{a}\int_{a\sqrt{b}}^{\infty}e^{-y^2}dy$$

Finalmente

$$I(a)=J(1)=\sqrt{\pi}\frac{e^{a^2}}{a}\int_{a}^{\infty}e^{-y^2}dy=\frac{\pi}{2}\frac{e^{a^2}}{a}\text{erfc}(a)$$ where $\texto{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-y^2}dy$ es lo que se llama "la función complementaria de error"