Polinomio mínimo de un mapeo lineal que es semilineal sobre algún campo de extensión

Question

Dejemos que $q$ sea la primera potencia, y que $t \in \mathbb{N}$ y que $\omega \in \mathbb{F}_{q^t}*$ . Consideremos el siguiente invertible, $\mathbb{F}_q$ -mapas lineales en $\mathbb{F}_{q^t}$ .

$g:\mathbb{F}_{q^t} \rightarrow \mathbb{F}_{q^t}$ , $x \mapsto x^q\omega$

(El mapeo $g$ también es $\mathbb{F}_{q^t}$ -semilineal). Creo (y me gustaría demostrar) que $g$ es cíclico como un elemento de ${\rm GL}_q(\mathbb{F}_{q^t})$ en el sentido de que existe $v \in \mathbb{F}_{q^t}^*$ de manera que los elementos

$v, vg, vg^2, \dots, vg^{t-1}$

formar un $\mathbb{F}_q$ -base de $\mathbb{F}_{q^t}$ . Esto equivale a decir que el mínimo y el polinomio característico de $g$ coinciden. Lamentablemente, aún no he encontrado una prueba (o un contraejemplo). Agradecería cualquier ayuda/sugerencia.

(Tenga en cuenta que $g^t$ viene dada por $x \mapsto x \alpha$ , donde $\alpha = N_{\mathbb{F}_{q^t}:\mathbb{F}_q}(\omega)$ es la norma de $\omega$ en $\mathbb{F}_q$ . Desde $\alpha \in \mathbb{F}_q$ el polinomio mínimo de $g^t$ es $x- \alpha$ . Así, el polinomio mínimo de $g$ divide $x^t-\alpha$ . Me gustaría demostrar que el polinomio mínimo de $g$ es igual a $x^t-\alpha$ .)

Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $x \in \mathbb{F}_{q^t}$ sea un elemento primitivo. Entonces $x,x^q,x^{q^2},\ldots,x^{q^{t-1}}$ formar un $\mathbb{F}_q$ base de $\mathbb{F}_{q^t}$ . Este hecho es bien conocido y deberías encontrarlo en la mayoría de los libros sobre campos finitos; o pruébalo tú mismo.

Ahora, por supuesto, también $xw,x^qw,x^{q^2}w,\ldots$ forman una base.

Por lo tanto, no hay necesidad de polinomios característicos aquí.

Answer 2

Si el polinomio mínimo de $g$ Llámalo $m(T)=\sum_{i=0}^dm_iT^i$ , tenía el grado $d<t$ entonces cada elemento de $\Bbb{F}_{q^t}$ sería un cero del polinomio $$ \tilde{m}(x)=\sum_{i=0}^d m_ig^{[i]}(x), $$ donde $g^{[i]}(x)$ representa el $i$ -composición doble $g\circ g\circ \cdots \circ g$ . Pero, $\tilde{m}(x)$ tiene grado $q^d$ por lo que no puede tener $q^t$ ceros a menos que $d\ge t$ .

Esto también resuelve su reclamación principal. Tengo la impresión de que has resuelto esa parte. Es similar a una prueba estándar de la existencia de una base normal para la extensión $\Bbb{F}_{q^t}/\Bbb{F}_q$ Así que no malgastaré el ancho de banda incluyendo esos detalles.