Por favor, ten en cuenta que no estoy preguntando cómo demostrar el teorema, sino que estoy preguntando sobre un punto concreto del mismo.
Al mostrar la primera implicación del teorema tenemos que demostrar que $X'''=J_{X'}(X')$ es decir, suponiendo que $X$ es reflexivo muestra que $X'$ es reflexivo.
Tomando $\rho\in X'''$ demostramos que existe un $f\in X'$ para lo cual $J_{X'}f=\rho$ . Por definición de $\rho\in X'''$ sabemos que $\rho$ es un operador acotado. La composición $\rho\,\circ J_{X}x$ es entonces un mapa acotado de $X$ a $\mathbb F$ para que esta composición esté en $X'$ . Establecer $f:=\rho\,\circ J_{X}x$ . Dado que hemos asumido que $X$ es reflexivo, para todo $\psi\in X''$ existe un $x\in X$ para lo cual $\psi=J_Xx$ .
En este punto tenemos todo lo que necesitamos para demostrar que $X'''=J_{X'}(X')$ . En mis apuntes comenzamos con la siguiente igualdad de la que se desprende toda una cadena de igualdades.
$$((J_{X'}f))(\psi)=\psi(f)$$
Primero considera el objeto a la izquierda del signo de igualdad. Tenemos $f\in X'$ para que $J_{X'}f\in X'''$ . También tenemos que $\psi\in X''$ para que $((J_{X'}f))(\psi)$ es sólo un número en nuestro campo escalar $\mathbb F$ . Ahora consideremos que en el lado derecho de la igualdad. Tenemos $\psi \in X''$ para lo cual $\psi( f)$ también está en el campo escalar $\mathbb F$ . Ahora bien, esta es mi pregunta: en ambos lados de la igualdad tenemos números en nuestro campo escalar, pero ¿cómo sabemos que coinciden? ¿Cómo sabemos que aplicando $((J_{X'}f))\in X'''$ a $\psi\in X''$ nos da el mismo número que aplicando $\psi\in X''$ a $f\in X'$ ? En mi cabeza tiene algo de sentido, pero no estoy del todo convencido.
