Secuencia alternada de expectativas condicionales

Question

Supongamos que tenemos una secuencia de variables aleatorias ${X_n}, n \in \mathbb{N}_0$ . Supongamos que tenemos dos subcampos que no están anidados, $\mathcal{G}_1$ y $\mathcal{G}_2$ . Tenemos alguna variable aleatoria $X$ y definir esta secuencia como,

$X_0 = X$

$X_{k+1} = \mathbb{E}[X_{k}|\mathcal{G}_1]$ si $k$ es incluso

$X_{k+1} = \mathbb{E}[X_{k}|\mathcal{G}_2]$ si $k$ es impar

Para visualizarlo, aquí están el 4º y 5º elemento de la secuencia, $X_4 = \mathbb{E}[\mathbb{E}[\mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{G}_1]|\mathcal{G}_2]|\mathcal{G}_1]|\mathcal{G}_2]$

$X_5 = \mathbb{E}[\mathbb{E}[\mathbb{E}[\mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{G}_1]|\mathcal{G}_2]|\mathcal{G}_1]|\mathcal{G}_2]\mathcal{G}_1]$

¿Hay algo que podamos decir sobre la convergencia de dicha secuencia? ¿Y las condiciones necesarias para que converja? No estoy muy familiarizado con las martingalas y demás, pero si al menos uno tiene recursos que me pueda recomendar para entender problemas específicamente de este tipo me alegraría ya que últimamente estoy tratando con bastantes problemas de este tipo.

Answer 1

Respuesta cuando $X$ es integrable al cuadrado: existe un teorema muy conocido en Anlysis Funcional (llamado teorema de las proyecciones alternas de von Neumann) que dice que si $P$ y $Q$ son proyecciones sobre un espacio de Hilbert con rangos $M$ y $N$ entonces $PQPQPQ...$ converge a la proyección sobre $M\cap N$ . Ref: Libro de Problemas del Espacio de Hilbert de P R Halmos, Problema 96. Esto implica que $X_n$ converge a $E(X|\mathcal G_1 \cap \mathcal G_2)$ .

Answer 2

La respuesta se encuentra en el siguiente pdf por Diaconis y Khare . En particular, dice que la condición $$ \mathbb E\left[\left\lvert X\right\rvert \log \left(1+\left\lvert X\right\rvert\right)\right]<+\infty $$ es necesaria y suficiente para la convergencia casi segura de $(X_n)$ a $\mathbb E\left[X\mid \mathcal G_1\cap\mathcal G_2\right]$ .