Evaluar $\int\limits_0^1\frac{(1-x)e^x}{x+e^x}\,dx$

Question

Estoy tratando de evaluar esta integral $$\int\limits_0^1\frac{(1-x)e^x}{x+e^x}\,dx.$ $ ¿puedes por favor darme alguna idea?

Answer 1

Vamos a ampliar el integrando de la siguiente manera:

$$\frac{(1-x)e^x}{x+e^x}=\frac{(1-x)}{1+xe^{-x}}=(1-x)(1-xe^{-x}+x^2e^{-2x}-...)=$$

$$=(1-x)\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^ix^ie^{-ix}=$$

$$=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^ix^ie^{-ix}-\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^ix^{i+1}e^{-ix}$$

A continuación, tenemos el siguiente resultado:

$$I(m,k)=\int_{0}^{1}x^me^{-kx}dx=$$

$$=\frac{m!}{k^{m+1}}-e^{-k}\sum_{j=0}^{m}j!\binom{m}{j}\frac{1}{k^{j+1}};\;m\geqslant n$$

La integral puede evaluarse mediante integración por partes.

Usando este resultado, el original de la integral se puede expresar en términos de $I(m,k):$

$$\int\limits_0^1\frac{(1-x)e^x}{x+e^x}\,dx=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\left [ I(k,k)-I(k+1,k) \right ]$$