Dejemos que $A$ sea un dominio integral y escriba $S=A-\{0\}$ . Entonces el anillo total de fracciones $S^{-1}A$ de $A$ es un campo abeliano. Nótese que $\varepsilon:A\rightarrow S^{-1}A,\,a\mapsto a/1$ es un homomorfismo de anillo inyectivo.
Dejemos que $E,F$ sean dos vectores $(S^{-1}A)$ -espacios. Podemos definir $A$ -estructuras modulares en $E$ y $F$ utilizando el homomorfismo $\varepsilon$ ; dejar que $\varepsilon_*(E)$ y $\varepsilon_*(F)$ denotan los conjuntos $E$ y $F$ con estos $A$ -respectivamente. Existe un único $\mathbf{Z}$ -sustitución lineal $$\varphi:\varepsilon_*(E)\otimes_A\varepsilon_*(F)\rightarrow E\otimes_{S^{-1}A}F$$ tal que $\varphi(x\otimes_A y)=x\otimes_{S^{-1}A}y$ para $x\in E$ y $y\in F$ . Quiero demostrar que $\varphi$ también es inyectiva.
Intento:
Dejemos que $z\in E\otimes_{A} F$ tal que $\varphi(z)$ = 0. Existe $\xi\in\mathbf{Z}^{(E\times F)}$ tal que $z=\sum_{(x,y)\in E\times F}\xi_{xy}(x\otimes_Ay)$ . Entonces $$0=\sum_{(x,y)\in E\times F}\xi_{xy}(x\otimes_{S^{-1}A}y).$$ Pero $(x\otimes_{S^{-1}A}y)_{(x,y)\in E\times F}$ no es una base de $E\otimes_{S^{-1}A}F$ así que $\xi$ no es necesariamente cero. ¿Alguna sugerencia?
