Utilizando series de potencias, calcula: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$

Question

Posible duplicado:
¿Cómo puedo evaluar $\sum_{n=0}^\infty(n+1)x^n$ ?

Necesito calcular la suma de $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$$ utilizando series de potencia.

¿Alguna pista de cómo debo hacerlo?

Answer 1

Recuerda que $\sum\limits_{0}^{\infty}x^n = \frac{1}{1-x}$ y $$\frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \frac{d}{dx}\sum_{0}^{\infty}x^n = \sum_{0}^{\infty}\frac{d}{dx}x^n = \sum_{1}^{\infty}nx^{n-1}$$ así que $x\frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \sum_{1}^{\infty}nx^{n}$ . Utilizando $x = 1/2$ debería darte lo que quieres.

Answer 2

Aquí tienes una pista. Usted sabe que $\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{n\geqslant 0}x^n$ . ¿Y si se diferencian ambos lados?

Answer 3

Así que quieres calcular $$S = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots$$ Ahora considere $$ f(x)= \frac{x}{2} + \frac{x^2}{2^2} + \frac{x^3}{2^3} + \cdots = \displaystyle\frac{\frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{2}}$$ A partir de aquí evalúe el valor de $f'(1)$ .