Por qué hay un $(-1)$ ¿factor en la relación cofactor-determinante?

Question

En el libro de Álgebra lineal por Werner Greub, en la página $116$ , sección $4.14$ dice que

Dado un $n\times n$ matriz, $A = (\alpha_j^i)$ , denotando para cada par $(i,j)$ por $S_i^j$ el $(n-1) \times (n-1)$ matriz obtenida de A mediante borrando la fila i y la columna j. Vamos a demostrar que $$cof (\alpha_i^j) = (-1)^{i+j} det S_i^j.$$

De hecho, al $(i-1)$ intercambios de filas y $(j-1)$ intercambios de columnas podemos transformar $C_i^j$ en la matriz

, donde $C_i^j$ es

Así que esta es mi pregunta: ¿Por qué necesitamos $(i-1)$ intercambios de filas o $(j-1)$ intercambios de columnas. ¿No podemos intercambiar directamente la j-ésima columna con la primera columna, y la i-ésima fila con la primera fila?

De esta manera, el determinante cambiaría su signo dos veces, lo que nos daría el mismo determinante.

Answer 1

El objetivo es preservar $S_i^j$ . Al intercambiar el $i$ a la fila con el $(i-1)$ fila, entonces el $(i-2)$ la fila, etc., se extrae la $i$ fila sin cambiar el signo de $\det(S_i^j)$ . La forma de pensar en esto que usted ha sugerido logra esencialmente lo mismo en términos de extraer el $i$ la fila y $j$ columna, pero el determinante de la matriz que se obtiene está relacionado con $\det(S_i^j)$ por la paridad de $i$ y $j$ de todos modos.