Encontrar el polinomio mínimo de un elemento de $GF(2^5)$

Question

Estoy tratando de encontrar el polinomio mínimo de $\alpha^5$ y usar este polinomio primitivo para definir mis operaciones. $p(X)=1+X^2+X^5$ .

Los conjugados de un elemento $\beta$ de $GF(2^m)$ son $\{\beta^{(2^i)},\;i\geq 0 \}$ . El polinomio mínimo es $$\phi(X)=\prod_{i=0}^{e-1} (X+\beta^{2^i}).$$ $$\phi(X) = (X+\beta)(X+\beta^2)(X+\beta^4)(X+\beta^8)(X+\beta^{16})$$ He puesto $\beta = \alpha^5$ y esto me da, $$\phi(X)=X^5+X^4+(\alpha+\alpha^2+\alpha^4)X^3+(\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4)X^2+X+1$$ Pero la respuesta debería ser, $X^5+X^4+X^2+X+1$

Editar: Lo he resuelto, fue un error de cálculo y me faltaron algunos términos. Ahora tengo la respuesta correcta, es decir $$\phi(X)=X^5+X^4+X^2+X+1$$

Answer 1

Ahora que el OP encontró los errores en su cálculo voy a publicar mi respuesta trucada.

El elemento $\alpha^2$ es un conjugado de $\alpha$ por lo que comparte con él el polinomio mínimo $p(X)=X^5+X^2+1$ . Podemos usar esto observando que $$\beta=\alpha^5=\alpha^5+p(\alpha)=1+\alpha^2.$$ Por lo tanto, $\beta$ debe ser un cero de $$ q(X)=p(1+X)=(1+X)^5+(1+X)^2+1=X^5+X^4+X^2+X+1. $$ Después de todo, $$ q(\beta)=q(1+\alpha^2)=p(1+(1+\alpha^2))=p(\alpha^2)=0. $$