Encontrar la intersección de una línea con un plano.

Question

Encontrar la intersección de una línea con un plano.

Línea: $x=y-1=5z$ y Plano : $4x-y+3z=17$ .

Dejemos que $x=y-1=5z =t$ entonces $x=t, y=t+1$ y $z = t/5$ . Por lo tanto, poniendo esto en la ecuación del plano tenemos $ t =5.$

Por lo tanto, la línea interseca el plano en $(5, 6,1)$ .

¿Es la solución correcta?

Answer 1

Su solución es correcta.

Vector $(1, 1, \frac15)$ es paralela a la línea: $x=y-1=5z$ & $(4, -1,3)$ es normal al plano: $4x-y+3z=17$ .

El producto punto: $(1, 1, \frac15)\cdot (4, -1,3)=\frac{18}{5}\ne 0$ muestra que la línea $x=y-1=5z$ interseca el plano en un ángulo ( $\ne 90^\circ$ es decir, no es paralelo al plano)

Ahora, conecta $x=t, y=t+1, z=t/5$ en la ecuación del plano: $4x-y+3z=17$

$$4(t)-(t+1)+3(\frac{t}{5})=17$$ $$\frac{18t}{5}=18$$ $$t=5$$ La línea interseca el plano en un solo punto $(5, 6,1)$