Por cada $k$ existe $n$ tal que la suma de los últimos $k$ dígitos de $9^n$ es $\leq9$

Question

Inspirado por esta pregunta que pide una prueba sobre la suma de dígitos de $9^n$ siendo mayor que $9$ .

He realizado algunos experimentos intentando (y fracasando miserablemente) demostrarlo.

Mi planteamiento inicial era mostrar que basta con considerar algún sufijo parcial de $9^n$ .

Pero parece que por muy largo que sea el sufijo que elija, siempre hay algún valor de $n$ para el que la suma de dígitos del sufijo de $9^n$ es NO mayor que $9$ .

En otras palabras, $\forall_{k\in\mathbb{N}}\exists_{n\in\mathbb{N}}:\text{digit sum of }9^n\bmod10^k\leq9$ .

Aunque no responda a la pregunta original, ¿cómo puedo probar esta observación?

Answer 1

La idea es escribir $9^{2n}$ como $$81^n=(80+1)^n$$ cuyos últimos términos al expandirse son $$\dots+512000\frac{n(n-1)(n-2)}6+6400\frac{n(n-1)}2+80n+1$$ Sólo tenemos que hacer $n=k!10^k$ para $k$ tan grande como queramos y se nos garantiza tener $81^n$ terminar en $\underbrace{00\dots0}_{k-1}1$ Esta suma de dígitos del sufijo es obviamente 1.