Obtener la inversa multiplicativa de un polinomio

Question

Tengo un polinomio $m(x)= x^2 + x + 2$ que es irreducible sobre $F=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ . Necesito calcular la inversa multiplicativa del polinomio $2x+1$ en $F/(m(x))$ .

Normalmente usaría la división con dos polinomios como este, pero aquí no funciona. Entonces, ¿cómo puedo obtener la inversa?

Answer 1

Trabajar en $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})[[x]]/\langle x^2 + x + 1 \rangle$ , una forma (horrible) de hacerlo es notar que $2x + 1 = 1 - x$ Así que $$(2x+1)^{-1} = \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dotsb. $$ Pero $1 + x + x^2 = -1 = 2$ y, como $x^2 = -x - 2 = 1-x$ , $$x^3 + \dotsb = \frac{x^3}{1-x} = \frac{x^3}{x^2} = x,$$ dando $(2x+1)^{-1} = 2 + x$ .

Answer 2

Puedes dejar que la inversa desconocida sea $ax+b$ y luego multiplicar $(ax+b)(2x+1)=2ax^2+(a+2b)x+b.$ Equivale a $1$ en $Z_3[x]/(m)$ lo que significa utilizar $x^2=-x-2$ que el término $2ax^2$ se convierte en $2a(-x-2)=-2ax-4,$ que se añade a $(a+2b)x+b.$ Inténtalo desde ahí.

Estoy bastante seguro de que este método debería funcionar, aunque en un comentario, el usuario Unidad ya dio el resultado.