Permutación de coordenadas: ¿cuántos vectores linealmente independientes generará?

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial y $\dim V=n$ . Bajo una base, el vector $\mathbf v$ está representada por la coordenada $(a_1,a_2,\ldots, a_n)$ . Dejemos que $S_n$ sea el grupo de todas las permutaciones sobre el conjunto $\{1,2\ldots, n\}$ representados por matrices. $S_n\subseteq M_n(\mathbb R)$ .

Formemos el conjunto $$ P_\mathbf v=S_n\mathbf v=\{M\mathbf v:M\in S_n\}. $$

Trato de investigar la dimensión de $\text{span }P_\mathbf v $ . Me parece que un subconjunto máximo de vectores independientes en $P_\mathbf v$ puede ser muy grande ( $n$ vectores) o muy pequeño (un vector), pero no algo intermedio.

¿Cuáles son las posibles dimensiones de $\text{span }P_\mathbf v $ ?

Answer 1

El grupo simétrico de orden $n!$ actuando como matrices de permutación en un espacio vectorial n-dimensional (característica no modular) es bien conocido que tiene una descomposición irreducible dada por la representación trivial $1 = \mathrm{span}\{(1, \ldots, 1)\}$ y el $(n-1)$ -representación normalizada" de la dimensión $S$ . En cualquier caso, su $P_v$ es una subrepresentación, por lo que las únicas posibilidades son $P_v \in \{0, 1, S, 1 \oplus S\}$ . En consecuencia, las dimensiones posibles son $0, 1, n-1, n$ .

Las dos primeras posibilidades se realizan mediante $v=0, v=(1, \ldots, 1)$ . Se puede proyectar en $1$ aplicando el operador de media ("Reynolds") $\frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} \sigma$ que dice que se obtiene $1$ como componente de $P_v$ si y sólo si la media de sus entradas es distinta de cero. Por lo tanto, $v=(1, 2, \ldots, n)$ le da $1 \oplus S$ , mientras que $v=(1, -1, 0, \ldots, 0)$ le da $S$ .