Encontrar el valor en una ecuación diofantina

Question

Un profesor regresó a su país tras asistir a una conferencia en París y Londres. Ha recibido 117,98 dólares con un tipo de cambio de 1 euro de 11,1 dólares y 1 libra de 1,69 dólares. En esta ecuación diofantina puedo escribir que euros es x, libras es y así $11.1x+1.69y=117.98$ $1110x+169y=11798$ $gcd(1110,169)=1$

$1|11798$ es verdadero entonces encuentro $(x',y')$ $1=-44(1110)+289(169)$ $11798=-519112(1110)+3409622(169)$

Si hablamos de dinero tan $x>=0$ y $y>=0$

$x=-519112+169n$ $x>=0$ $-519112+169n>=0$ $n>=3071.6$ Así que encuentro $n={3072,3073,...}$ Entonces para y $y=3409622-1110n$ $y>=0$

Con el mismo método como x encuentro que $n={...,3070,3071}$

Lo que obtuve de esto es que x e y no son ambos positivos. ¿Es eso posible?

Answer 1

De acuerdo con mi comentario, utilice la tasa de euro a dólares de $1.11$

Borrar los céntimos para dar $111x+169y=11798$

Resuelve, ya sea con el método mostrado en tu pregunta, o simplemente haciendo trampa con http://planetcalc.com/3303/

De cualquier manera,

$$x=790466+169k$$

$$y=-519112-111k$$

Claramente, $y>0$ Así que calcule $-519112/111=-4676.68$

Prueba con $k=-4677$ para dar $x=53,y=35$

Ahora $k=-4678$ y las marcas más pequeñas $x$ negativo.

También, $k=-4676$ y más grandes hace $y$ negativo, por lo que sólo hay una respuesta.

$53$ euros, $35$ libras

Answer 2

Aplicando la división euclidiana a la ecuación $111x+169y=11768$ llegamos a la solución:

$x=71+169t$

$y=23-111t$

donde t es un parámetro.

Tomando entre las infinitas soluciones ese mínimo, es decir, el que tiene $t=0$ obtenemos

$x=71$ y $y=23$ .