Ecuaciones diferenciales - sistema dinámico acotado

Question

Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ una función $C^1$ y sea $I_{x_0}=(a,b)$. Supongamos que existe $M>0$ tal que $|\varphi(\cdot,x_0)|_{[0,b)}|\le M$, donde $\varphi(t,x)$ es el sistema dinámico generado por la ecuación $x'=f(x)$. ¿Cómo podemos demostrar que $b=+\infty$ y que existe $\lim_{t\to\infty}\varphi(t,x_0)$?

Answer 1

Pista: Cualquier solución a $\dot x=f(x)$ es una función monótona.