La secuencia limitada implica la existencia de $\lim\sup$ y $\lim\inf$

Question

Lo pregunto para ver si mi razonamiento tiene sentido. Supongamos que $\{a_n\}$ es una secuencia acotada, entonces $\lim\sup$ y $\lim\inf$ existe. Voy a mostrar esto para $\lim\sup$ ya que parece bastante sencillo:

Porque existe un límite superior mínimo $a$ entonces $a_i \leq a$ para todos $i$ . Así, para todos los $\epsilon>0$ vemos que $a_i< a + \epsilon$ . Supongamos que existe algún $b$ tal que $a_i < b + \epsilon < a + \epsilon$ . Entonces $b < a$ . Esto es una contradicción ya que $a$ es el límite superior mínimo. Así, $a$ es el menor número real tal que para todo $\epsilon >0$ , $a_i<a+\epsilon$ para todos $i$ . Así, para todos los $\epsilon >0 $ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que $a_n<a+\epsilon$ para todos $n>N$ . Así, $a+\epsilon$ es el $\lim\sup$ .

Gracias

Answer 1

Si denotamos $A$ el conjunto de límites secuenciales de una secuencia acotada $a_n$ entonces se demuestra que $\limsup a_n=\max A$ .

$(1)$ Si $b_n \to b$ y $b_n \leq a,\forall n \in \mathbb{N}$ para algunos $a \in \mathbb{R}$ entonces $\lim_{n \to +\infty} b_n \leq a$

Ahora $a_n \in [-M,M]$ donde $M=\sup_{n \in \mathbb{N}}$ porque se supone que está acotado.

Ahora existe $a_{k_n} \to \limsup a_n$ porque limsup es un límite secuencial.

Ahora $a_{n_k} \in [-M,M]$ por lo tanto de $(1)$ tenemos que $\limsup a_n \in [-M,M]$

así que $\limsup a_n=a \in [-M,M]$ .

También de esto se ve que limsup no puede ser mayor que $\sup a_n +\epsilon$ para cualquier $\epsilon>0$