No estoy seguro de cómo mostrar la segunda parte. ¿No es obvio por el hecho de que G y H son infinitos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
M.U.
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Lo siguiente era demasiado largo para un comentario, así que lo escribí como respuesta:
En mi opinión, es mejor considerar este problema de una manera puramente teórica de la estructura, ya que su afirmación es verdadera para cualquier par de grafos conectados infinitos localmente finitos. Así que no hay nada especial en que los grafos sean grafos de Cayley de algunos grupos.
Por lo tanto: Sea $X$ y $Y$ sean dos grafos infinitos conectados localmente finitos. Entonces su producto $X \times Y$ tiene exactamente un extremo.
Hay muchos "productos diferentes" que se podrían formar con dos gráficos dados. En este caso tenemos $V(X \times Y) = V(X) \times V(Y)$ y la adyacencia se define como sigue:
$(x_1, y_1)$ es adyacente a $(x_2, y_2)$ si $x_1 = x_2$ y $y_1$ es adyacente a $y_2$ o viceversa.
Dejemos ahora $B$ sea una bola de radio finito en $X \times Y$ y que $z,w$ sean dos vértices fuera de $B$ y cada uno dentro de unos infinito componente. Si encuentra un camino que los conecte fuera de $B$ ya está hecho.
Primero piense en el ejemplo $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ y alguna bola en su grafo de Cayley (con respecto a algún conjunto generador). ¿Por qué puede conectar dos vértices cualquiera fuera de esta bola sin tocar la bola (considere la definición de la adyacencia en tales gráficos de producto al mismo tiempo)?
Estoy seguro de que puedes escribirlo en general.
