Problemas para entender el $ε$ - $N$ prueba del límite de la secuencia

Question

Actualmente estoy atascado en un problema de matemáticas propuesto por mi profesor.

Para $\varepsilon=0,001$ , encontrar $N=N_0$ tal que $|a_n-L|\lt \varepsilon$ si $n\geqslant N$

$$a_n = \frac{(n+1)}{3n-1}\, {\rm and} \, L=1/3$$

Según él, la respuesta podría ser cualquiera $N_0$ mayor que $\left[\frac{2}{3\varepsilon}\right]+1$ . Tengo una idea de cómo funciona la prueba, pero no puedo entender cómo llegó a ese valor específico para N $_0$ . Y por qué el valor final tiene un $+1$ .

Answer 1

Tenemos que

$$\left|\frac{n+1}{3n-1}-\frac13\right|<\epsilon \iff \frac{4}{3(3n-1)}<\epsilon.$$

Ahora

$$\frac{4}{3(3n-1)}<\epsilon\iff 9n-3>\frac{4}{\epsilon}\iff 9n>\frac{4}{\epsilon}+3.$$ Así que necesitamos

$$n>\frac{4}{9\epsilon}+\frac13.$$ Así que basta con tener

$$n>\left[\frac{4}{9\epsilon}\right]+\left[\frac13\right]=\left[\frac{4}{9\epsilon}\right]+1.$$

Answer 2

Tenemos $$a_n - L = \frac{n+1}{3n-1}- \frac{1}{3} = \frac{3(n+1)-(3n-1)}{3(3n-1)} = \frac{4}{3(3n-1)}.$$ Así que queremos $$\frac{4}{3(3n-1)} < \epsilon \quad\Leftrightarrow\quad 3n-1 > \frac{4}{3\epsilon} \quad \Leftrightarrow \quad n > \frac{4}{9\epsilon}+\frac{1}{3},$$ para que podamos tomar $$n_0 = \left[ \frac{4}{9\epsilon}\right] + 1.$$ Tenemos $+1$ aquí para estar seguros, ya que queremos que la desigualdad anterior sea estricto .

En particular, si $\epsilon = 0.001 = 10^{-3}$ esto se convierte en $$n_0 = \left[ \frac{4000}{9}\right]+1 = \left[ \frac{4000}{9}\right]+1 = 445.$$