Hoy estuve trabajando con algunos ejercicios sobre topología pero en alguna parte necesito demostrar la siguiente desigualdad: $${\aleph_1}^{\aleph_0}\leq |[\omega_1]^{\omega}|$$ Aquí $[\omega_1]^{\omega}:=\left\{A\subseteq\omega_1 : |A|=\aleph_0 \right\}$ . No sé cómo probarlo.
Mi intento comienza con $f:\omega\to\omega_1$ una función. Sabemos que ${\aleph_1}^{\aleph_0}=|\left\{f:\omega\to\omega_1\mid f \ \text{is a function} \right\} |$ entonces es correcto tomar $f:\omega\to\omega_1$ . Entonces $f[\omega]$ es un subconjunto de $\omega_1$ pero entonces $f:\omega\to f[\omega]$ es una función suryectiva. Entonces $\aleph_0\geq |f[\omega]|>0$ y por lo tanto cada función de $\omega\to\omega_1$ define naturalmente un subconjunto de $\omega_1$ . El problema es el hecho de que $f[\omega]$ puede ser un conjunto finito y la asignación natural $f\mapsto f[\omega]$ no funciona para demostrar la desigualdad. Además, creo que esta asignación no es inyectiva porque podemos tener dos funciones diferentes $f$ y $g$ tal que $f[\omega]=g[\omega]$ . Por ejemplo $f(n)=n$ y $g(0)=1$ , $g(1)=0$ y $g(n)=n$ para $n>1$ . No sé cómo proceder o cómo concluir el ejercicio. ¿Alguien puede ayudarme?
