Prueba $f(x,y) = x+y^2$ es una función continua

Question

Dejemos que $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ se define por $f(x,y) = x+y^2$ . ¿Cómo puedo demostrar que esto es continuo?

Iba a intentar tomar un conjunto abierto de R, llamarlo V, y demostrar que $g^{-1}(V)$ está abierto, pero no sé cómo. Como alternativa, ¿podría utilizar un argumento delta epsilon? ¿Cómo funcionaría eso en este caso?

Answer 1

Recordemos que la suma y la composición de funciones continuas son continuas.

Paso 1 : Demostrar que $g : x \mapsto x$ y $h : y \mapsto y^2$ son funciones continuas de una variable real.

Paso 2 : Demostrar que las funciones $\pi_1 : (x,y) \mapsto x$ y $\pi_2 : (x,y) \mapsto y$ son continuos.

Paso 3 : Tenga en cuenta que $f = g \circ \pi_1 + h \circ \pi_2$ . Concluya.

El paso 1 debería ser ya un hecho conocido, pero probar con $\epsilon-\delta$ es un buen ejercicio si no estás familiarizado con él. El paso 2 también debería ser fácil con $\epsilon-\delta$ . Todo esto se podría demostrar directamente a través de un $\epsilon-\delta$ argumento, pero estaría muy cerca de esto. Aquí los pasos están un poco más separados y la prueba es un poco menos directa. Hazme saber si quieres que publique una prueba más explícita.