Encuentre el valor de $ ( ab + bc + ca )^2 $

Question

Si $a,b,c$ son números reales que satisfacen $a^2+b^2+ab = 9$ $b^2+c^2+bc = 16$ $c^2+a^2+ca = 25$

encontrar el valor de $ ( ab + bc + ca )^2 $

Answer 1

Dejar desde $$\begin{cases}a^2-2a\cdot b\cos{\dfrac{2\pi}{3}}+b^2=9\\ b^2-2bc\cos{\dfrac{2\pi}{3}}+c^2=16\\ c^2-2ca\cos{\dfrac{2\pi}{3}}+a^2=25 \end{cases} $$ entonces dejamos que $$PA=a,PB=b,PC=c,\angle APB=\angle BPC=\angle APC=\dfrac{2\pi}{3}$$ Por coseno $$|AB|^2=25,|BC|^2=16,|AC|^2=9$$ así que $\angle C=\dfrac{\pi}{2}$ ,

entonces tenemos $$S_{ABC}=S_{APC}+S_{BPC}+S_{APB}=\dfrac{1}{2}\sin{\dfrac{2\pi}{3}}(ab+bc+ac)$$ $$\Longrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{4}(ab+bc+ac)=\dfrac{1}{2}|AC||BC|=6$$ así que $$ab+bc+ac=(8\sqrt{3})^2=192$$