¿Hay alguna conexión entre verde ' s teorema y las ecuaciones de Cauchy-Riemann?

Question

Teorema de Green tiene la forma: $\oint P (x, y) dx = - \iint \frac{\partial P} {\partial x} dxdy, \oint Q (x, y) dy = \iint \frac{\partial Q} {\partial y} dxdy $$ Las ecuaciones de Cauchy-Riemann tienen la siguiente forma: (suponiendo que $z = p + iQ(x,y)$) $$ \frac{\partial P} {\partial x} = \frac{\partial Q} {\partial y}, \frac{\partial P} {\partial y} = - \frac{\partial Q} {\partial x} $$

¿Hay alguna conexión entre esta dos ecuaciones?

Answer 1

Absolutamente sí!

En el Apartado 7 de estas notas sobre el Verde del Teorema, explico cómo Verdes del Teorema además de la de Cauchy-Riemann ecuaciones de inmediato los rendimientos de la Integral de Cauchy Teorema.

Muchos estudiantes serios de las matemáticas se dan cuenta de esto por su cuenta en algún momento, pero es sorprendente cómo algunos textos estándar de esta relación. En (sobre todo Estadounidenses) de pregrado de textos sobre el Tema de X, existe un preocupante tendencia a cortésmente ignorar la existencia de los Sujetos Y, aun cuando cualquier estudiante de la Asignatura X casi con toda seguridad ya se han estudiado / estar simultáneamente a estudiar / pronto a estudiar Sujeto Y.

Answer 2

Si usted considera que $P(x,y)$ y $Q(x,y)$ como la parte real e imaginaria de una analítica de la función que usted puede conseguir la conexión.

Entonces $P(x,y)$ y $Q(x,$ y) verificar el Cauchy-Riemann ecuaciones, por lo tanto :

$$ \frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y} , \frac{\partial P}{\partial x} = -\frac{\partial Q}{\partial y} $$

En función de orientado a conseguir que la integral es Cero.

Esto satisface la integral de Cauchy teorema que una analítica de la función de una curva cerrada es cero.

Editar:

Usted puede ver aquí, donde la prueba de la integral de Cauchy teorema de usos Verde del Teorema .

Un poco más profundo que se puede ver, el Análisis Complejo por Lars Ahlfors, la sección 4.6 de la página 144.