relajación en el Teorema de Dini

Question

El teorema de Dini dice: Sea $[a,b]$ sea un intervalo compacto. Sea $f,f_{n}: [a,b] \xrightarrow{} \mathbb{R}$ , $n \in \mathbb{N}$ , funciones con

1. $f$ y $f_{n}$ son continuos para todos los $n$
2. $\lim_\limits{n \to \infty} f_{n}(x) = f(x)$ $\forall x \in [a,b]$
3. $f_{n}(x) \leq f_{n+1}(x)$ $\forall x \in [a,b]$ y $n \in \mathbb{N}$ .

Entonces $\{f_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformemente a $f$ .

Supongamos que sólo las condiciones $1$ y $2$ están satisfechos. Son en este caso $\{f_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}$ también converge uniformemente a $f$ ?

La razón por la que hago esta pregunta es que he encontrado una variante del teorema de Dini que dice que si la condición $1$ y $2$ se satisfacen y tenemos que $f_{n}$ es una de las denominadas secuencias conmutables, es decir, f_{n} tiene una parte monotónicamente creciente y otra monotónicamente decreciente, entonces también se cumple el Teorema de Dini

Answer 1

Dejemos que $f_n(x)=nx$ para $x \in [0,\frac 1 n]$ y $f_n(x)=2-nx$ para $x \in [\frac 1 n, \frac 2 n]$ , $0$ en el resto de $[0,1]$ . Entonces $f_n \to 0$ de forma puntual pero no uniforme ya que $f_n(\frac 1 n) =1$ para todos $n$ .

Answer 2

Considere $f_n : [0,1] \to \mathbb{R}$ definido como $f_n(x) = nxe^{-nx}$ . Claramente $f_n \to 0$ en cuanto a los puntos, pero $$f\left(\frac1n\right) = e^{-1}, \forall n\in\mathbb{N}$$

por lo que la convergencia no es uniforme.