¿Cómo visualizar el polo/polar de una línea/punto en el espacio proyectivo PG(2, R) que no está en contacto con la curvatura?

Question

Entonces, entiendo que dada una curvatura $\mathbb{C}$ . La polar de un punto de la cónica es la tangente a la cónica en ese punto y el polo de una recta que toca la cónica una sola vez y es tangente a la cónica es el punto donde la toca.

No consigo entender qué son las polares de los puntos internos y externos y los polos de las rectas secantes y de las rectas externas. Se dice que un punto externo tiene una polar secante y un punto interno tiene una recta externa como polar.

¿Podría alguien explicar el porqué de esto? ¿Cómo funciona esto intuitivamente?

Answer 1

Toma un punto externo a la cónica. Dibuja las tangentes desde este punto a la cónica. Habrá dos de ellas. Tocan la cónica en dos puntos de contacto. Su conexión es la línea polar del punto inicial. A la inversa, en el caso de una secante se puede intersecar con la cónica, trazar las tangentes y obtener así el polo exterior.

Para el polo interno y el polo pasante es más difícil de imaginar. Algebraicamente es lo mismo, excepto que muchas de las coordenadas son de valor complejo. Pero quizás es mejor pensar en esto en términos de incidencias preservadas por la polaridad. Empieza con tu línea externa. Elige dos puntos diferentes en ella. Construye sus líneas polares. El punto donde se cruzan estas polares es el polo de la línea inicial. Y a la inversa, partiendo de un punto interior, traza dos líneas arbitrarias hacia él, construye sus polos y la línea que une estos polos será la polar del punto inicial.

En esta figura, $A$ es el polo de $a$ , $B$ de $b$ y $C$ de $c$ . Ambos $(B,b)$ y $(C,c)$ tienen el punto exterior y la línea polar una secante y, por tanto, pueden emparejarse a través de las tangentes (verde oscuro) y los puntos de contacto (verde claro). El par $(A,a)$ se deduce entonces de la debida a la conservación de la incidencia.