Necesito una intuición sobre Borel $\sigma$ -álgebra en $\mathbb R$

Question

Definición de Borel en $\mathbb R$ ( $\mathcal B(\mathbb R)$ ) es que es el $\sigma$ -generada por todos los conjuntos abiertos en $\mathbb R$ .

Bien, si tomo algún conjunto abierto como $C = (0,1)$ por la definición de $\sigma$ -el complemento de $C$ también debe estar en $\mathcal B(\mathbb R)$ Así que algo como $(-\infty, 0] \cup [1, \infty)$ debe estar en $\mathcal B(\mathbb R)$ . ¿Es eso cierto?

Answer 1

Así es, también tienes todos los conjuntos cerrados y la unión contable s de conjuntos cerrados s que llamamos $F_{\sigma}$ y sus complementos que se denominan ed $ G_{\delta}$ . Sin embargo se pueden encontrar conjuntos de Borel que no son ni $ F_{\sigma}$ o $ G_{\delta}$ .