En una curva $(3+1)$ espaciotiempo dimensional con componentes métricas $g_{\mu \nu}$ la derivada covariante de a $4$ vector $\mathbf V = (V^0, \vec V)$ viene dada por $$\nabla_\mu~ V^\mu = \frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\mu (\sqrt{-g}~V^\mu).$$
Espero que esta relación también se pueda utilizar para derivar la expresión de la divergencia de la $3$ vector $\vec V$ en una hipersuperficie espacial plana en un sistema de coordenadas curvilíneas, por ejemplo, las coordenadas polares cilíndricas $(r,\phi,z)$ . Entonces tendremos que sustituir el $\sqrt{-g}~$ por $\sqrt g~$ ya que la métrica de la hipersuperficie espacial tiene un determinante positivo. Esto dará entonces $$\vec \nabla \cdot \vec V = \nabla_i V^i = \frac{1}{r}\partial_r(r~V^r) + \partial_\phi V^\phi + \partial_zV^z.$$
Sin embargo, la expresión real para la divergencia de un $3$ vector en coordenadas polares cilíndricas es $$\vec \nabla \cdot \vec V = \frac{1}{r}\partial_r(r~V^r) + \frac{1}{r}\partial_\phi V^\phi + \partial_zV^z.$$ ¿Puede señalar y explicar en qué me estoy equivocando?
