El producto directo interno de dos subgrupos

Question

Demuestre cómo si $\gcd(m,n)=1$ , $\mathbb{Z}_{mn}$ es el producto directo interno de dos subgrupos.

Sé que los productos directos internos deben cumplir tres criterios.

1. $G=HK=\{hk:h\in H, k\in K\}$
2. $hk=kh$ para todos $h\in H$ y $k\in K$
3. $H\cap K=\{e\}$ (la identidad).

Me cuesta relacionar esto con la $\gcd(m,n)=1$ .

Answer 1

Probablemente puede empezar por probar $\langle\bar m\rangle \times \langle \bar n\rangle$ . Entonces, como $\mathbb{Z}_{mn}$ es abeliana, su criterio (2) se cumple automáticamente.

Los criterios (1) y (3) provienen de $lcm(m,n)=mn$ y $gcd(m,n)=1$ respectivamente. Así que su suposición sobre $gcd$ es esencial.

Considere $\mathbb{Z}_4$ entonces no se puede escribir como $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ ( $\mathbb{Z}_4$ es cíclico, es decir, generado por un elemento $\mathbb{Z}_4=\langle 1\rangle$ , mientras que $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ no lo es; también $\mathbb{Z}_4$ tiene elementos de orden 4 (1 y 3), pero $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ no [todo elemento no identitario tiene orden 2]) (Comparar con $\mathbb{Z}_6\cong\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3$ por el teorema del resto chino. )

Answer 2

Desde $m\mathbb{Z},mn\mathbb{Z}$ son subgrupos normales de $\mathbb{Z}$ y $mn\mathbb{Z}\subset m\mathbb{Z}$ tenemos que $m\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}$ es un subgrupo normal de $\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}$ . De la misma manera, $n\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}$ es un subgrupo normal de $\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}$ .

Demostramos que $m\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}\cap n\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}=0$ .

Dejemos que $ma+mn\mathbb{Z}=nb+mn\mathbb{Z}\in m\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}\cap n\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}$ , donde $a,b\in \mathbb{Z}$ . Entonces $ma-nb\in mn\mathbb{Z}$ . Así que $ma-nb=mnc$ para algunos $c\in \mathbb{Z}$ . Por lo tanto, $m|nb$ . Desde $(m,n)=1$ , $m|b$ . Así que $b=md$ para algunos $d\in \mathbb{Z}$ . Por lo tanto, $nb+mn\mathbb{Z}=mnd+mn\mathbb{Z}=0$ .

Demostramos que $\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}=(m\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})(n\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})$ .

Desde $(\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})/(m\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ , $|m\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}|=mn/m=n$ . De la misma manera, $|n\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}|=m$ . Entonces $$|(m\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})(n\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})|=|m\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}|\cdot|n\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}|/|m\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}\cap n\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}|=mn.$$ Desde $|\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}|=mn$ tenemos $\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}=(m\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})(n\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})$ .