¿Cómo puedo demostrar que $\frac{1}{x^{2/x}} \to 1$ como $x\to\infty$ ?

Question

Mirando la gráfica, parece que esta función converge a 1 como $x\to\infty$ . Pero con rigor matemático, ¿cómo podría demostrarlo?

Answer 1

$$\lim _{ x\rightarrow \infty }{ { x }^{ -\frac { 2 }{ x } } } =\lim _{ x\rightarrow \infty }{ { e }^{ -\frac { 2 }{ x } \ln { x } \quad \quad } } \overset { L'Hospital }{ = } \lim _{ x\rightarrow \infty }{ { e }^{ -\frac { 2 }{ x } } } =1$$

Answer 2

Puedes escribir $\frac1{x^{2/x}}$ como $e^{-2\frac{\ln x}{x}}\rightarrow 1$ como $x\rightarrow\infty$

Answer 3

$$\lim_{x\to\infty}x^{-\frac{2}{x}}=\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{1}{x}\right)^{-2x}=\lim_{x\to 0^+}(x^x)^2=1^2=1$$ hay un tema con varias pruebas que $\lim_{x\to 0^+}x^x=1$

aquí está: Prueba de $\lim_{x \to 0^+} x^x = 1$ sin utilizar la regla de L'Hopital

y otro ¿Cuál es el valor de $\lim_{x\to 0}x^x$ ?

Answer 4

Empezamos por dejar que $u=1/x$ $$\lim _{ x\to \infty } x^{ -\frac 2x } = \lim_{u \to 0} \frac{1}{u^{2u}}$$ Escribe el denominador como $\left(u^u\right)^2$ y observe que $\lim_{ u\to 0 } u^u =1$ que es bien conocido.