Encontrar la fórmula explícita dada la recursión

Question

Esta es la fórmula recursiva: $$\begin{cases} a_1=1/2,\\ a_n= \sqrt {\frac {a_{n-1}+1}{2}} \end{cases}$$

He calculado que los 4 primeros términos son $\frac12, \frac {\sqrt3}2, \frac {\sqrt{\sqrt3+2}}2, \frac {\sqrt{\sqrt{\sqrt3+2}+2}}2$

¿Cómo puedo encontrar la fórmula explícita?

Observando los 4 primeros términos, me doy cuenta de que el denominador sigue siendo 2, mientras que el numerador parece ser también recursivo. Llamaré a este numerador $b_n$ $$\begin{cases} b_1=1,\\ b_n= \sqrt {b_{n-1}+2} \end{cases}$$

Estoy pensando que si encuentro la fórmula explícita para $b_n$ , tal vez podría utilizar la fórmula $\frac {b_n}2=a_n$ y resolver.

También descubro que en la fórmula recursiva donde $c_1=x$ y $c_{n}=\sqrt{c_{n-1}}$ la fórmula explícita sería: $$c_n=x^\frac1{2^{(n-1)}}$$

Actualmente estoy luchando en la forma de resolver para el caso $b_n=\sqrt{b_{n-1}+2}$

Answer 1

Estas recurrencias no lineales rara vez tienen soluciones explícitas.

Sin embargo, puedes ir por un límite: Si el límite es $A$ Debe ser eso:

$\begin{align*} A &= \sqrt{\frac{A + 1}{2}} \\ A^2 &= \frac{A + 1}{2} \\ A &= \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2}}{4} \\ &= 1 \text{ or } -\frac{1}{2} \end{align*}$

El valor negativo no tiene sentido, por lo que el límite (si existe) es 1. Para demostrar que el límite existe, vea que $a_n$ es estrictamente creciente, limitado desde arriba por 1.