Para mostrar $W= \big((x,y,z)| \ \ ax+by+cz=0 ; x,y,z\in F\big) $ es un subespacio de $V_3$

Question

Dejemos que $a,b,c $ sea un elemento fijo de un campo $F$ Demostrar que $$W= \big((x,y,z)| \ \ ax+by+cz=0 ; x,y,z\in F\big) $$ es un subespacio de $V_3(F)$

La condición necesaria y suficiente para un subconjunto no vacío $W$ de un espacio vectorial $V(F)$ para ser un subespacio de V es que $\alpha u+\beta v\in W $ para todos $\alpha ,\beta\in F$ y $u,v\in W$

Ahora, en esta pregunta he utilizado el pensamiento anterior y he procedido de la siguiente manera.

Dejemos que $u=(x_1,y_1,z_1)$

$v=(x_2,y_2,z_2)$

$\alpha u+\beta v = \alpha(x_1,y_1,z_1)+ \beta(x_2,y_2,z_2)$

$\implies(\alpha x_1 +\beta x_2,\alpha y_1+\beta y_2,\alpha z_1+\beta z_2)$

Ahora puedo decir $(\alpha x_1 +\beta x_2,\alpha y_1+\beta y_2,\alpha z_1+\beta z_2)\in W \implies \alpha u+\beta v \in W $ ??

¿Lo he hecho bien?

Answer 1

Se supone que debe verificar que $\alpha u + \beta v \in W$ en lugar de limitarse a afirmar que está en $W$ .

Verifique que $a(\alpha x_1+\beta x_2) + b (\alpha y_1 + \beta y_2)+ c( \alpha z_1 +\beta z_2)$ es igual a cero.

Recuerde también que debe comprobar que $W$ es no vacío y cerrado bajo la multiplicación escalar.

Answer 2

Dejemos que $(l,m,n)=(\alpha x_1 +\beta x_2,\alpha y_1+\beta y_2,\alpha z_1+\beta z_2)$ . Es fácil comprobar que $al+bm+cn=0$ . Así, $(l,m,n)\in W$ que era lo que había que mostrar.