¿Existen infinitos triples pitagóricos?

Question

Creo que todas estas preguntas están pidiendo cosas diferentes, pero:

• ¿Existen infinitas soluciones (enteras) al teorema de Pitágoras?

• ¿Cualquier número entero positivo forma parte de una solución del teorema de Pitágoras?

Además, ¿hay alguna diferencia en multiplicar el triple pitagórico por un factor constante, digamos $k$ en ambos lados y multiplicando cada número $a, b, c$ por una constante $k$ ?

Answer 1

Como se indica en el artículo de Wikipedia el conjunto de TODOS los triples pitagóricos $(a,b,c)$ está dada por: $$ a = k(m^2 - n^2) \;;\quad b = k(2mn) \;;\quad c = k(m^2 + n^2) \tag{1} $$ donde $m, n, k$ rango sobre los enteros positivos, $m - n$ es impar, $m > n$ y $m,n$ son relativamente primos. También puede cambiar $a$ y $b$ arriba, si quieres, para obtener todas las triplas en las que el orden de (a,b) importa. Así que, de todos modos, para responder a sus preguntas:

1. Sí, hay infinitos triples pitagóricos. La forma fácil de demostrarlo es tomar un triple, digamos $3, 4, 5$ y tomar todos los múltiplos de ella. Esto corresponde a dejar que $k$ se extienden sobre todos los enteros en (1). Pero hay infinitos primitivo triples, también (los que no son sólo múltiplos de un triple más pequeño); esto es porque hay infinitos pares $m, n$ con $m - n$ impar, $m > n$ y $m, n$ relativamente primo.

2. Para cualquier múltiplo entero de cuatro $l$ , ciertamente se puede escribir como $l = 2mn$ con $m,n$ relativamente primo, $m - n$ impar. Para un número entero impar $l \ge 3$ , tenga en cuenta que es la diferencia entre cuadrados consecutivos, por lo que tome $m = n+1$ , donde $l = (n+1)^2 - n^2 = 2n+1$ . Para un número entero par $l \ge 6$ que no sea un múltiplo de cuatro, no formará parte de un primitivo triple, sino que será parte de un triple sólo hay que encontrar un triple para $\frac{l}{2}$ y luego multiplicar cada término por $2$ .

En resumen:

• Hay infinitos triples pitagóricos.

• También hay infinitas primitivo triples pitagóricos.

• Todo entero positivo $\ge 3$ es parte de un triple pitagórico.

• Todo entero positivo $\ge 3$ que no es congruente con $2$ mod $4$ es parte de un triple pitagórico primitivo.

• $1$ y $2$ no forman parte de ninguna terna pitagórica, aunque sí formarían parte de $0, 1, 1$ y $0, 2, 2$ si permitimos estos casos triviales.

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P.D. También puede interesarle el árbol infinito de triples pitagóricos primitivos .

Answer 2

Una ligera variación de la fórmula de Euclides genera triples positivos no triviales para cada par de números naturales $m,n$ .

$$A=(2m-1+n)^2-n ^2\qquad B=2(2m-1+n)n\qquad C=(2m-1+n)+n^2$$

Otra forma de expresar esta fórmula es $$A=(2n-1)^2+2(2n-1)k\qquad B=2(2n-1)k+2k^2\qquad C=(2n-1)^2+2(2n-1)k+2k^2$$

Ambos generan los mismos triples hasta el infinito en conjuntos distintos.

He aquí una muestra de estos conjuntos en los que $GCD(A,B,C)$ es el $n^{th}$ Plaza impar donde $n$ es el número del conjunto.

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|} n & Triple_1 & Triple_2 & Triple_3 & Triple_4 & Triple_5 & Triple_6 \\ \hline Set_1 & 3,4,5 & 5,12,13& 7,24,25& 9,40,41& 11,60,61 & 13,84,85 \\ \hline Set_2 & 15,8,17 & 21,20,29 &27,36,45 &33,56,65 & 39,80,89 & 45,108,117 \\ \hline Set_3 & 35,12,37 & 45,28,53 &55,48,73 &65,72,97 & 75,100,125 & 85,132,157 \\ \hline Set_{4} &63,16,65 &77,36,85 &91,60,109 &105,88,137 &119,120,169 & 133,156,205 \\ \hline Set_{5} &99,20,101 &117,44,125 &135,72,153 &153,104,185 &171,140,221 & 189,180,261 \\ \hline Set_{6} &143,24,145 &165,52,173 &187,84,205 &209,120,241 &231,160,281 & 253,204,325 \\ \hline \end{array}$$