Modelo Malthus - Solución Ecuación diferencial

Question

Tengo esta ecuación de un modelo de Malthus dependiente del tiempo con un término que representa una inmigración dependiente del tiempo: $$N'(t)=r(t)N(t) + m(t)$$ con $r(t)$ y $m(t)$ tanto continua como periódica con Periodo $T$ . Tengo que demostrar que la función $$N_\infty (t)=\int_{-\infty}^t exp\biggl(\int_s ^t r(\sigma)d\sigma\biggr)m(s)ds$$ es una solución de la EDO anterior.

Intenté derivar $N_\infty (t)$ para obtener nuestra ODE, pero sin éxito. Creo que he hecho algo mal en el cálculo. Sé que la derivada de una integral se calcula así: Sea $G(t):=\int_a^x f(t)dt$ . Entonces $G'(t)=f(x)$

Así que en nuestro caso lo hice: $$N'_\infty (t)= exp\biggl(\int_s ^t r(\sigma)d\sigma\biggr)m(t)$$ Pero creo que me falta algo. ¿Alguien puede ayudarme, por favor?

Answer 1

Con $a$ en el dominio de la definición, dejemos $R(t) = \int_{a}^{t}r(s)ds$ para que $R'(t) = r(t)$ . Entonces, si utilizamos la teoría de un factor integrador

$$\frac{d}{dt}\left(N(t)\exp(-R(t))\right) = \exp(-R(t))m(t).$$

Integrando esto con respecto a $t$ nos da $$N(t)\exp(-R(t))-N(a) = \int_{a}^{t}\exp(-R(s))m(s)ds.$$ Por tanto, la solución viene dada por

$$N(t) = N(a)\exp(R(t))+\exp(R(t))\int_{a}^{t}\exp(-R(s))m(s) = N(a)\exp\left(\int_{a}^{t}r(s)ds\right)+\exp\left(\int_{a}^{t}r(s)ds\right) \int_{a}^{t}\exp(-R(s))m(s)ds.$$

Answer 2

La derivada de $N_\infty(t)$ es incorrecto. Para calcular su derivada el Se debe utilizar la regla integral de Leibniz porque la variable $t$ está en el signo de la integral, así como en el integrando.

$$ N^\prime_\infty (t) = exp\left(\int_t^t r(\sigma)\,d\sigma\right) m(t) + \int_{-\infty}^t r(t)\, exp\left(\int_s^t r(\sigma)d\sigma\right) m(s)\,ds $$

Ahora el segundo término es igual a r(t)N(t) $$ r(t)N(t) = \int_{-\infty}^t r(t)\, exp\left(\int_s^t r(\sigma)d\sigma\right) m(s)\,ds $$

Además $$ exp\left(\int_t^t r(\sigma)\,d\sigma\right) = exp(0) = 1 $$

Entonces, sustituyendo en $N^\prime_\infty(t)$ $$ N^\prime_\infty (t) = m(t) + r(t)N(t) $$

que es la ODE. Así que esa solución la satisface.