Fracción continua para $\log(\frac{1+\alpha z}{1+z})$

Question

Hay una fracción continua para $$\log\left(\frac{1+z}{1-z}\right)$$ dado por $$\cfrac{2z}{1-\cfrac{1z^2}{3-\cfrac{4z^2}{\cdots}}}.$$

Esto lo sabía incluso Gauss. Ver Handbook of Continued Fractions for Special Functions por Annie A.M. Cuyt et al pg 196 o Analytic theory of Continued fractions por H.S. Wall pg 343.

¿Existe una fracción continua de la misma forma para el $$\log\left(\frac{1+\alpha z}{1-z}\right)?$$

Answer 1

Hay $$\log \left(\frac{a z+1}{1-z}\right)-\frac{(a+1) z}{1-\frac{\frac{1-a}{2} z}{1-\frac{\frac{(a+1)^2}{6 (1-a)} z}{1-\frac{\frac{a^5-a^4-8 a^3-8 a^2-a+1}{3(-a^4-2 a^3+2 a+1)} z}{1-\ldots}}}}.$$ Cualquier serie de potencias formal puede expandirse en una cfrac de la forma $a_0+\operatorname{K}\limits_{n=0}^\infty\frac{a_nz}{1}$ donde los coeficientes $a_n$ puede determinarse a través de las matrices de Hankel compuestas por los coeficientes de las series de potencia formales. Pero no siempre se puede esperar un patrón regular en los coeficientes $a_n$ .