Definición de una función continua en un espacio completamente regular y totalmente desconectado

Question

Un espacio topológico $X$ está totalmente desconectado si los componentes conectados en $X$ son los conjuntos de un punto. Además, un $T_1$ espacio topológico $X$ tal que para cada subconjunto cerrado $C$ de $X$ y cada punto $x \in X\setminus C$ existe una función continua $f:X\rightarrow[0,1]$ tal que $f(x)=0$ y $f(C)={1}$ se llama completamente Regular.

Ahora dejemos que $X$ sea un espacio topológico completamente regular y totalmente desconectado y $f$ sea una función continua de valor real sobre $X$ ( es decir, $f\in C(X)$ ). Ahora bien, si $A\subseteq X$ tal que $f(A)=\{0, 1\}$ ¿cómo podemos definir una función continua de valor real $g$ en $X$ tal que $g(X)=\{0,1\}$ y $f(a)=g(a)$ para todos $a\in A$ ?

Answer 1

Su propiedad deseada podría reformularse como "cada dos subconjuntos de $X$ que están separadas funcionalmente están separadas clopemente". Esta propiedad (junto con la regularidad completa) se denomina fuerte dimensionalidad cero . En el contexto de los espacios de Hausdorff tenemos las siguientes implicaciones: \begin{align}\text{strongly zero-dimensional} \implies \text{zero-dimensional} \implies \text{totally separated} \implies \text{totally disconnected}.\end{align} Las implicaciones no son reversibles. Por ejemplo, la tienda agujereada de Cantor con el vértice eliminado es un espacio metrizable totalmente desconectado que no está totalmente separado. Por otro lado, si su espacio $X$ es compacto, entonces todas las condiciones son equivalentes.