Si $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ es un $C^1$ entonces $f$ no es biyectiva

Question

Si $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ es un $C^1$ entonces $f$ no es biyectiva.

¿Puede alguien explicar por qué esto es cierto o darme alguna pista? No me doy cuenta de cómo se relaciona la biyección con ser un $C^1$ ¿tiene alguna relación con el teorema de la función inversa?

Answer 1

He aquí una solución que no requiere más que un cálculo básico y que demuestra que la continuidad es suficiente.

Supongamos que $f: \Bbb{R}^2 \to \Bbb{R}$ es continua. Te demuestro por contradicción que $f$ no es inyectiva. Supongamos por contradicción que $f$ es inyectiva.

Considere los tres mapas $g_1, g_2, g_3 : [0,1] \to \Bbb{R}^2$ definido por $$g_1(t) = (0,t)$$ $$g_2(t) = (t,0)$$ $$g_3(t) = (t,t)$$ Es obvio que estos son continuos e inyectivos. Consideremos las tres composiciones (continuas e inyectivas) $f \circ g_1, f \circ g_2, f \circ g_3$ definido sobre $[0,1]$ con valores en $\Bbb{R}$ .

Entonces $$f(g_1([0,1])), f(g_2([0,1])), f(g_3([0,1]))$$ son tres intervalos cerrados acotados que contienen el número $z= f(0,0)$ . Tenga en cuenta que:

1. Desde $f \circ g_i$ es inyectiva, $f(g_i([0,1]))$ no consiste en un solo punto. Así que $f(g_i([0,1])) = [a_i, b_i]$ con $a_i < b_i$ .

2. Pero $\{ z \}= [a_1, b_1] \cap [ a_2, b_2] = [a_1, b_1] \cap [ a_3, b_3] =[a_2, b_2] \cap [ a_3, b_3]$ por inyectividad. Y esto es imposible.

Answer 2

Otra prueba para $f$ meramente continuo: Porque $\mathbb R^2$ está conectado, también lo está $f(\mathbb R^2)$ por la continuidad de $f.$ Así, $f(\mathbb R^2)$ es un intervalo. Elija un punto $a$ en el interior de este intervalo. Entonces hay un único $(b,c)\in \mathbb R^2$ tal que $f(b,c)=a.$ Pero $\mathbb R^2 \setminus \{(b,c)\}$ está conectado (porque es un camino conectado), mientras que $f(\mathbb R^2)\setminus \{a\}$ no lo es. Ya que $f$ preserva la conectividad, tenemos una contradicción.

Answer 3

Como puedes ver en las otras respuestas, la continuidad ya es suficiente para derivar una contradicción. Además, aquí hay una prueba que utiliza que $f$ es continuamente diferenciable:

Supongamos que $f$ es biyectiva y de clase $C^1$ . Escriba $f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ y considerar su diferencial $d_{(x,y)}f = (f_x, f_y)$ . Porque $f$ es biyectiva, hay algún punto $(x_0, y_0)$ tal que $d_{(x_0,y_0)}f \neq (a,0)$ , donde $a \in \mathbb{R}$ es arbitraria. Sea $f(x_0,y_0) = z_0$ y considerar

$F(x,y) = f(x_0,y_0) - z_0$

Entonces podemos aplicar el teorema de la función implícita (ya que la segunda componente de la diferencial en $(x_0,y_0)$ no es cero y por lo tanto es invertible), obteniendo vecindades abiertas $U,V \subseteq \mathbb{R}$ con $x_0 \in U, y_0 \in V$ y una función $g: U \rightarrow V$ con $g(x_0) = y_0$ , de tal manera que

$F(x,y) = 0\, \Leftrightarrow\, y = g(x)$

en $U \times V$ o, en otras palabras,

$f(x,g(x)) - z_0 \equiv 0\, \Leftrightarrow\, f(x,g(x)) \equiv z_0$

en $U \times V$ lo que supone una contradicción con la biyectividad de $f$ .

Por su interés: existen mapas biyectivos (no continuos) de $\mathbb{R^2}$ a $\mathbb{R}$ (busque por ejemplo aquí: Ejemplos de mapa biyectivo de $\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}$ )