norma de una forma cuadrática

Question

Supongamos que $q$ es una forma cuadrática en $\mathbb{R}^n$ , $q(x)=(x,Ax)$ decir (o $q(x)=x^TAx$ si prefieres esa notación). Entonces se podría considerar la cantidad $$\sup\{ \left|q(x)\right| : \left\| x \right\| \leq 1 \}.$$ ¿Es una cantidad interesante? En particular, cuando la norma es el $p$ -normas para $p \neq 2$ ?

Answer 1

Lo es, en efecto. Se puede plantear el problema como el de maximizar la forma cuadrática $x^TAx$ sujeto a la restricción $x^Tx=1$ . Es bien sabido que el máximo que se busca es exactamente el máximo valor propio de $A$ y el $x$ que alcanza este máximo es el vector propio asociado a este valor propio. Por lo tanto, la cantidad por la que se pregunta es simplemente la norma del valor propio máximo.

En términos más generales, teniendo en cuenta $A$ simétrica (sin pérdida de generalidad en este caso) y $B$ positiva definida, se puede demostrar que $$max \{x^TAx\;\;\colon\;\; x^TBx=1\}$$ es el valor propio máximo de $B^{-1}A$ en $x$ el vector propio correspondiente.