Condición que no implica integrabilidad

Question

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria, y $x\mathbb{P}\left(\left|X\right|>x\right)\to 0$ cuando $x\to\infty$ . Esta condición no implica la integrabilidad. ¿Puede alguien dar un ejemplo de esto? Una variable aleatoria tal que $\int_{0}^{\infty}\mathbb{P}(|X|>x)dx=\infty$ incluso cuando $x\mathbb{P}(|X|>x)\to 0$ ?

Y lo contrario: ¿la integrabilidad de $\left|X\right|$ implica $x\mathbb{P}(|X|>x)\to 0$ ?

Answer 1

Supongamos que $X$ tiene pdf \begin{align*} f_X(x) = \frac{x + (x+e-1)\log(x+e-1)}{x^2(x+e-1)\log^2(x+e-1)} \end{align*} definido para $x \ge 1$ y 0 para $x < 1$ . Podemos calcular \begin{align*} F_X(x) = \int_{1}^{x} f_X(t) dt = \left[1 - \frac{1}{t\log(t+e-1)}\right]_{t=1}^{t=x}= 1 - \frac{1}{x\log(x+e-1)} \end{align*} Y por lo tanto \begin{align*} \mathbb{P}(|X| > x) = \mathbb{P}(X > x) = \frac{1}{x\log(x+e-1)} \end{align*} Por lo tanto, $x \mathbb{P}(|X| > x) = \frac{1}{\log(x+e-1)} \rightarrow 0$ como $x \rightarrow \infty$ . Pero, \begin{align*} \int_{1}^{\infty}\mathbb{P}(|X| \ge x) dx &> \int_{1}^{\infty}\frac{1}{(x+e-1)\log(x+e-1)} dx \\ &= \left[\log(\log(x+e-1))\right]_{x=1}^{\infty} \\ &= \infty \end{align*}

Pero, la integrabilidad implica $x \mathbb{P}(|X| > x) \rightarrow 0$ . En efecto, la integrabilidad implica que $\mathbb{P}(|X| > x) = o(\frac{1}{x})$ , donde $o$ es el pequeño $o$ -notación. Por lo tanto, $x\mathbb{P}(|X| > x) = o(1) \rightarrow 0$ .

Answer 2

La condición $\lim_{x\to +\infty}x\mathbb P\left\{X>x\right\}=0$ es equivalente a la convergencia a cero de la secuencia $\left(2^n\mathbb P\left\{X\geqslant 2^n\right\}\right)_{n\geqslant 1} $ . Para obtener un ejemplo de variable aleatoria no integrable $X$ tal que $2^n\mathbb P\left\{X\geqslant 2^n\right\}$ Considera que $X$ discreto, tomando el valor $2^i$ , $i\in\mathbb N^*$ con probabilidad $p_i\in[0,1]$ y $\mathbb P\{X=l\}$ si $l$ no es un poder positivo de $2$ . Deberíamos tener $$\sum_{i=1}^{ +\infty}p_i=1;\quad \sum_{i=1}^{ +\infty}2^i\cdot p_i=+\infty \mbox{ and } 2^n\sum_{i=n}^{+\infty}p_i\to 0. $$ Podemos elegir $p_i:=c^{-1} 2^{-i}/i$ con $c :=\sum_{i=1}^{ +\infty} 2^{-i}/i$ .

Sin embargo, es cierto que una variable aleatoria integrable $X$ satisface $\lim_{x\to +\infty}x\mathbb P\left\{X>x\right\}=0$ . Toma $Y$ una combinación lineal de funciones indicadoras. Entonces por la desigualdad de Markov, $$x\mathbb P\left\{X>x\right\}\leqslant x\mathbb P\left\{\left| X-Y\right|>x/2\right\}+x\mathbb P\left\{\left| Y\right|>x/2\right\}\\ \leqslant 2\mathbb E\left|X-Y\right| +x\mathbb P\left\{\left| Y\right|>x/2\right\}. $$ Desde $Y$ está acotado, tenemos $\mathbb P\left\{\left| Y\right|>x/2\right\}$ para $x$ lo suficientemente grande por lo tanto $$\limsup_{x\to \infty} x\mathbb P\left\{X>x\right\}\leqslant 2\mathbb E\left|X-Y\right| ,$$ y por definición de la integral de Lebesgue, el último término puede hacerse arbitrariamente pequeño.