Suma de coeficientes binomiales

Question

Tengo la siguiente expresión,

$$ \frac{1}{n 4^n} \sum_{i = 1}^{n} i \binom{2n}{n + i}, $$

y me pregunto si se puede obtener una fórmula exacta para la suma que implique el coeficiente binomial u obtener una cota asintótica ajustada para toda la expresión.

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

He trabajado en una expresión similar:

$$ \begin{align} \sum_{j=1}^{n}{2j\cdot\binom{2n}{n+j}}&=\sum_{j=1}^{n}{(n+j)\cdot\binom{2n}{n+j}}-\sum_{j=1}^{n}{(n-j)\cdot\binom{2n}{n+j}}\\ \\ &=\sum_{j=1}^{n}{(n+j)\cdot\binom{2n}{n+j}}-\sum_{j=1}^{n}{(n-j)\cdot\binom{2n}{n-j}} \end{align} $$

Imagina que eliges varios de $2n$ personas para formar parte de un comité y luego elegir a uno de ellos como líder. El primer término de la derecha es el número de posibilidades en las que los comités están formados por al menos $n+1$ miembros, mientras que el otro término es cuando los comités están formados por un máximo de $n-1$ miembros.

Podemos seleccionar primero al líder y luego completar los comités. Si hay al menos $n+1$ miembros de la comisión, entonces hay como máximo $n-1$ sin comité. Si hay como máximo $n-1$ miembros, entonces hay como máximo $n-2$ miembros aparte del líder.

$$ \begin{align} \sum_{j=1}^{n}{2j\cdot\binom{2n}{n+j}}&=2n\sum_{k=0}^{n-1}{\binom{2n-1}{k}}-2n\sum_{k=0}^{n-2}{\binom{2n-1}{k}}\\ \\ &=2n\cdot\binom{2n-1}{n-1} \end{align} $$

A partir de este resultado podemos obtener la solución a su problema:

$$ \begin{align} \frac{1}{n\cdot 4^{n}}\sum_{j=1}^{n}{j\cdot\binom{2n}{n+j}}&=\frac{1}{2n\cdot 4^{n}}\sum_{j=1}^{n}{2j\cdot\binom{2n}{n+j}}\\ \\ &=\frac{1}{2n\cdot 4^{n}}\cdot 2n\cdot\binom{2n-1}{n-1}\\ \\ &=\frac{1}{4^{n}}\cdot\binom{2n-1}{n-1} \end{align} $$

Answer 2

Si quieres aproximaciones o límites, utiliza el resultado dado por Wolfram Alpha. $$S_n=\frac{1}{n\, 4^n} \sum_{i = 1}^{n} i \binom{2n}{n + i}=\frac{4^{-n} n \Gamma (2 n)}{\Gamma (n+1)^2}$$ Tomar logaritmos y utilizar la aproximación de Stirling para obtener $$\log\left(S_n\right)=-\frac{1}{2} \log (4 \pi n)-\frac{1}{8 n}+\frac{1}{192 n^3}+O\left(\frac{1}{n^5}\right)$$ Continúa con Taylor usando $$S_n=e^{\log\left(S_n\right)}=\frac{1}{2 \sqrt{\pi n} }\Bigg[1-\frac{1}{8 n}+\frac{1}{128 n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)\Bigg]$$