función de densidad de $-Y$

Question

Estoy leyendo la prueba de la diferencia de funciones de densidad $Z=X-Y$ : $f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_{-Y}(z-x)dx$

Entonces entré en $$f_{-Y}(z-x)=f_{Y}(x-z)$$

¿Puede smb explicar por qué esto es cierto?

Answer 1

En general, si $f$ sirve como densidad de la variable aleatoria $Y$ entonces la función prescrita por $y\mapsto f(-y)$ sirve como densidad de la variable aleatoria $-Y$ .

Esto porque: $$\{-Y\in B\}=\{Y\in -B\}$$ donde $-B:=\{-x\mid x\in B\}$ para que: $$P(-Y\in B)=P(Y\in-B)=\int\mathbf1_{-B}(y)f(y)dy=\int\mathbf1_{B}(-y)f(y)dy=\int\mathbf 1_B(z)f(-z)dz$$

La última igualdad se consigue sustituyendo $z=-y$ .

Answer 2

Llame a $W = -Y$ Entonces, usted tiene

$$ \require{cancel} f_W(w) = f_Y(y)\cancelto{1}{\left|\frac{{\rm d}y}{{\rm d}w} \right| } $$

Así que tienes

$$ f_{-Y}(y) = f_Y(-y) $$