Espectáculo, $U_\alpha:=\{(x,y,z)\in\mathbb{K}^3\mid x+y+z=\alpha\}$ con $a\in \mathbb{K}$ es el subespacio de $\mathbb{K}^3$ en $\mathbb{K}$ si $\alpha = 0$

Question

Mostrar, que $U_\alpha:=\{(x,y,z)\in\mathbb{K}^3\mid x+y+z=\alpha\}$ con $a\in \mathbb{K}$ es un subespacio del espacio vectorial $\mathbb{K}^3$ en $\mathbb{K}$ si $\alpha = 0$

Primero tenemos que demostrar que $U_\alpha \neq \emptyset$ .

Dejemos que $y=(\alpha,0,0)\in U_\alpha \implies U_\alpha\neq \emptyset$

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2.) $\forall u,v\in U_\alpha:u+v\in U_\alpha$

Dejemos que $u = (a,b,c)$ y $v=(d,e,f)$ con $a+b+c=\color{red}{\alpha} \in \mathbb{K}$ y $d+f+e=\color{red}{\alpha} \in \mathbb{K}$

$$u+v =(a+d,b+e,c+f)$$ con $\color{red}{a+d+b+e+c+f = a+b+c+d+e+f = \alpha+\alpha=2\alpha}$ y esto implica, que $u+v\notin U_\alpha$ , a excepción de $\color{red}{\alpha} =0 \implies \color{red}{0+0=0}$ (¿Es lo suficientemente detallado?)

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3.) $\forall \lambda \in \mathbb{K},\;\forall u\in U_\alpha:\lambda u \in U_\alpha$

$$\lambda u = (\lambda a,\lambda b, \lambda c)$$

con $\lambda(a+b+c)=\lambda \alpha \neq \alpha$ excepto en el caso de $\alpha = 0$ .

$U_\alpha$ es un subespacio sólo para $\alpha = 0$

Answer 1

Sería más fácil argumentar primero que necesariamente $\alpha = 0$ porque de lo contrario $0 \notin U_\alpha$ y cada subespacio tiene que contener $0$ .

Ahora para $U_0$ podemos comprobar fácilmente que es un subespacio:

• $0 \in U_0$ así que $U_0 \ne \emptyset$
• Para $u,v \in U_0$ tenemos $$(u_1+v_1) + (u_2 + v_2) + (u_3+v_3) = (u_1+u_2+u_3) + (v_1+v_2+v_3) = 0$$ así que $u+v \in U_0$
• Para $u \in U_0$ y $\lambda \in \mathbb{K}$ tenemos $$\lambda u_1 + \lambda u_2 + \lambda u_3 = \lambda(u_1+u_2+u_3) = 0$$ así que $\lambda u \in U_0$