Tsin(aT+b) no se puede integrar desde T=menos infinito, porque la función integral contiene el término sumado Tcos(aT+b). No se elimina. Es indefinido (como valor límite) en T=menos infinito. Entonces, la fórmula de x(t) no define una función. El punto de partida es imposible y el resto no tiene sentido.
Es posible que aplicando diferentes reglas de transformación de Fourier se obtenga una fórmula que contenga la función delta o sus potencias superiores. No lo he probado. Parece que se necesita algo así como una derivada de la función delta que está dos marchas más allá del análisis clásico. La función delta sola se convierte de la frecuencia del punto. Su derivada viene de multiplicar el seno por T en Tsin(aT+B). Se presenta en colecciones de transformadas de Fourier así:
La fórmula está tomada de este sitio web http://fourier.eng.hmc.edu/e101/lectures/handout3/node2.html
En la misma colección se puede encontrar otra fórmula para el juego de símbolos. Es ésta: