Un espectral de la secuencia de Tor

Question

Supongamos $R \to T$ es un anillo mapa tal que $T$ es plano como una $R$-módulo. A continuación, para $A$ $R$- módulo, $C$ $T$- módulo hay un isomorfismo

$$\text{Tor}^R_n(A,C) \simeq \text{Tor}^T_n(A \otimes_R T,C)$$

Esto puede ser probado directamente por la elección de un $R$-resolución proyectiva $P^\bullet \to A$ y seguir adelante con el álgebra homológica. Una más 'maza' se acercan a nosotros para utilizar el Grothendieck espectral secuencia $$E_2^{s,t} = \text{Tor}^{T}_s(\text{Tor}_t^R(A,T),C) \Rightarrow \text{Tor}^R_{s+t}(A,C),$$

que se derrumba bajo los supuestos anteriores para dar la necesaria isomorfismo.

En el caso de que $T$ no es plana como una $R$-módulo, es posible construir una secuencia espectral que colinda con $\text{Tor}^T_n(A \otimes_R T,C)$?

Answer 1

$\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}$ son abelian categorías, $F:\mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ $G: \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{C}$ son derecho exacta functors. Desea calcular derecho derivado de functors de $G\circ F$.

Para aplicar la Grothendieck espectrales de la secuencia que usted tiene que asegurarse de que $F$ mapas acíclicos complejos en $\mathcal{A}$ a acíclicos complejos en $\mathcal{B}$.

En su ejemplo, $F(A) = A \otimes T$ $G(B)= B \otimes C$ si $T$ plano, a continuación, $F$ toma acíclicos complejos acíclicos, pero si $T$ no es plana, entonces yo no sé, en general, de la caracterización en ese caso.

una forma de hacerlo sería la de extender su subyacente de categoría para los complejos de los módulos. A continuación, puede sustituir a $T$ por una plana/de resolución libre. En ese caso Grothendieck la maquinaria funciona, pero va a dar hyper-tor en lugar de tor.