Hallar la función de densidad de la suma de dos variables aleatorias

Question

Dejemos que X, Y tengan un pdf conjunto: $f(x,y) = \frac{1}{2}(x+y)e^{(-x+y)}$ para $0<x<\infty$ y $0<y<\infty$ .

Encontrar la función de densidad de probabilidad $f_Z(z)$ para la suma $Z = X+Y$ para todos $-\infty<z<\infty$ .

Estoy tratando de resolverlo encontrando las distribuciones marginales $f_x(x)$ y $f_y(y)$ y, a continuación, integrando $\int_{-\infty}^{\infty}f_x(z-y)f_ydy$ para conseguir $f_z(z)$ . ¿Es este el enfoque correcto?

Answer 1

Ir desde los marginales en general no funcionará, pues los marginales se olvidan de la dependencia.

La densidad conjunta vive en el primer cuadrante, por lo que $Z\gt 0$ . Por lo tanto, sólo nos interesa la densidad de $Z$ para $z\gt 0$ .

Viajaría a través de la cdf de $Z$ . Queremos la probabilidad de que $X+Y\le z$ . Para ello, queremos integrar $(x+y)e^{-(x+y)}$ sobre la parte del primer cuadrante por debajo de la línea $x+y=z$ . Debido a la forma del integrando, es mejor utilizar una transformación, $x+y=u$ , $y=v$ . (Es algo más agradable encontrar $\Pr(Z\gt z)$ .)

Observación: La siguiente idea informal puede convertirse en un argumento formal. La función de densidad $f_Z(z)$ , tiempos $dz$ es aproximadamente la probabilidad de que $Z$ se encuentra entre $z$ y $z+dz$ . Observando la función de densidad, vemos que ésta es aproximadamente $ze^{-z} dz$ .