Demostrar que si $ab = 1$ para $a, b \in A$, entonces $a = b^{-1}$.

Question

Sea $A$ un álgebra unitaria de dimensión finita sobre un campo $\mathbb{K}$ y $a,b \in A$. Tengo una pregunta sobre la siguiente afirmación:

Si $ab = 1$, entonces $a = b^{-1}$.

Originalmente, pensé que esto se deduce de la definición, ¿pero supongo que tenemos que mostrar la unicidad? Le pregunté a mi profesor para obtener algún consejo y me dijo que pensara en cómo representar $A$ en matrices. Estoy perdido. ¿Alguna idea de cómo abordar esto, o tal vez cómo desglosarlo para poder comprender cómo funciona? Gracias de antemano.

Answer 1

Pista Para cada $a \in A$ define $T_a: A \to A$ como $$T_a(x)=ax$$

Luego $T_a$ es una transformación lineal y $T_aT_b=Id$.

Deduce de aquí que si $[T_a], [T_b]$ son las matrices correspondientes con respecto a alguna base fija entonces $$[T_a][T_b]=I_n$$ y por lo tanto $$[T_b][T_a]=I_n$$

Usa esto para demostrar que $ba=1$.

Answer 2

Considera el mapa lineal $\mathbb{K}$ -linear $\lambda_b\colon A\to A$, $\lambda_b(x)=bx$. De manera similar tienes $\lambda_a$ y, por supuesto, $$ \lambda_a\circ\lambda_b=\iota $$ donde $\iota$ es la identidad en $A$. Por lo tanto, $\lambda_b$ es inyectiva. Dado que $A$ es de dimensión finita, $\lambda_b$ también es sobreyectiva. Por lo tanto, $\lambda_b$ tiene un mapa lineal inverso $\mathbb{K}$ -linear $f$ y necesitamos demostrar que $f=\lambda_a$.

Esto es fácil: $$ \lambda_a=\lambda_a\circ\iota=\lambda_a\circ(\lambda_b\circ f)= (\lambda_a\circ\lambda_b)\circ f=\iota\circ f=f $$

No se necesitan matrices.