Mis preguntas son sobre una secuencia o función con varias variables.
- Recuerdo vagamente que hace un tiempo uno de mis profesores dijo que tomar límites de una secuencia o función con respecto a diferentes variables no es intercambiable en todas partes, es decir, $$ \lim_n \lim_m a_{n,m} \neq \lim_m \lim_n a_{n,m}, \quad \lim_x \lim_y f(x,y) \neq \lim_y \lim_x f(x,y).$$ Entonces mi pregunta es ¿cuáles son los casos o ejemplos en los que se puede intercambiar el orden de tomar límites y cuándo no se puede, según su conocimiento? Me gustaría recopilar los casos juntos, ser consciente de sus diferencias y evitar cometer errores. ¡Si pudiera proporcionar algunas pautas generales, sería aún mejor!
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Para darte un ejemplo de lo que estoy preguntando, esta es una pregunta que me confunde: Supongamos que $f: [0, \infty) \rightarrow (0, \infty)$ es una función, que satisface $$ \int_0^{\infty} x f(x) \, dx < \infty. $$ Determina la convergencia de esta serie $\sum_{n=1}^{\infty} \int_n^{\infty} f(x) dx.
La respuesta que vi es intercambiar el orden de $\sum_{n=1}^{\infty}$ y $\int_n^{\infty}$ de la siguiente manera: $$ \sum_{n=1}^{\infty} \int_n^{\infty} f(x) dx = \int_1^{\infty} \sum_{n=1}^{\lfloor x \rfloor} f(n) dx \leq \int_1^{\infty} \lfloor x \rfloor f(x) dx $$ donde $\lfloor x \rfloor$ es el entero más grande menor que $x$. De esta manera, la respuesta demuestra que la serie converge. Me preguntaba por qué los dos pasos son válidos. ¿Hay algún significado especial de la primera igualdad? Porque parece similar a la fórmula de suma de cola para la esperanza de una variable aleatoria $X$ con valores posibles $\{ 0,1,2,...,n\}$: $$\sum_{i=0}^n i P(X=i) = \sum_{i=0}^n P(X\geq i).$$ La fórmula es de Página 171 de Probability by Jim Pitman, 1993. ¿Están realmente relacionados?
¡Aprecio mucho tu ayuda!
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¡Gracias, Greg O.! ¿Podrías por favor publicar nuevamente las ecuaciones que escribiste antes?
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El intercambio de la suma y la integral en su segunda pregunta está justificado por el teorema de Fubini, que típicamente se utiliza para intercambiar el orden de integración en integrales de Lebesgue iteradas, pero que más generalmente se aplica a integrales iteradas en cualquier espacio de medida (razonable). En este caso, si fijamos $g(x,n) = \chi_{[n,\infty)}(x)f(x)$, entonces $$\sum_{n=1}^\infty \int_n^\infty f(x) dx = \int_\mathbb{N}\int_1^\infty g\ dx \times d\mu$$ donde $dx$ es la medida de Lebesgue en $[1,\infty)$ y $d\mu$ es la medida de conteo en los números naturales. Ahora Fubini le permite intercambiar las integrales como desee.
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Posible repetición de math.stackexchange.com/questions/15240/…