Si dos variables aleatorias $X$ y $Y$ no están correlacionadas, ¿podemos saber también que $X^2$ y $Y$ no están correlacionadas? Mi hipótesis es que sí.
$X, Y$ no correlacionado significa $E[XY]=E[X]E[Y]$, o
$$ E[XY]=\int xy f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int xf_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X]E[Y] $$
¿Eso también significa lo siguiente? $$ E[X^2Y]=\int x^2y f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int x^2f_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X^2]E[Y] $$
No. Un contraejemplo:
Que $X$ se distribuya uniformemente en $[-1, 1]$, $Y = X^2$.
Entonces $E[X]=0$ y también $E[XY]=E[X^3]=0$ ($X^3$ es una función impar), por lo que $X,Y$ no están correlacionados.
Pero $E[X^2Y] = E[X^4] = E[{X^2}^2] > E[X^2]^2 = E[X^2]E[Y]$
La última desigualdad se deriva de la desigualdad de Jensen. También se desprende del hecho de que $E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 = Var(X) > 0$ ya que $X$ no es constante.
El problema con su razonamiento es que $f_X$ podría depender de $y$ y viceversa, por lo que su penúltima igualdad no es válida.
El error en su razonamiento es que escribe lo siguiente sobre $E[h(X,Y)]$: $$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_X(x)fY(y)dxdy$$ mientras que en general $$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f{XY}(x,y)dxdy.$$ Los dos coinciden si $f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$, es decir, si $X$ y $Y$ son independientes. Estar descorrelacionado es una condición necesaria pero no suficiente para ser independiente. Entonces, si dos variables $X$ y $Y$ no están correlacionadas pero son dependientes, entonces $f(X)$ y $g(Y)$ pueden estar correlacionadas.
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