Si $|F| = 8$ y $K$ es un subcampo, demuestre que $K = F$ o $K = \{0, 1\}$ .

Question

Dejemos que $K$ sea un subring de un campo $F$ . Si $|F| = 8$ y $K$ es un subcampo, demuestre que $K = F$ o $K = \{0, 1\}$ . [Pista: Lagrange].

Teorema de Lagrange: Si $H$ es un subgrupo de un grupo finito $G$

I Entonces $|H|$ divide $|G|$

II $\frac{|G|}{|H|}=|G:H|$ es el índice de $H$ en $G$

Así que por el Teorema de Lagrange, $|K|$ divide $8$ y así $|K|=2,4,$ o $8$ . Si $|K|=2$ entonces $K=\{0,1\}$ y si $|K|=8$ entonces $K=F$ . Así que sólo necesito mostrar si $|K|=4$ entonces $K$ no puede ser un campo. No estoy seguro de cómo hacerlo.

Answer 1

Además, $|K^\times|$ divide $|F^\times|$ Así que $|K|-1$ divide $8-1=7$ . Desde $7$ es primo, sólo hay dos subcampos, $F$ y $\mathbb F_2$ .

Answer 2

$F$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre $K$ . Por lo tanto, existe algún $n \geq 0$ tal que $|K|^n = |F| = 8$ . Así, $|K| \in \{2,8\}$ . El resultado se desprende inmediatamente de esto.